Dopravný podnik nakúpil nové električky uspôsobené do horúcich letných dní. Tento in-ovátor-ský počin mal hneď niekoľko špecifík. V prvom rade to bola otvorená karoséria, ktorá umožňovala voľné prúdenie vzduchu, ktorý ochladzoval cestujúcich. Konštruktér myslel aj na efektívne narábanie s energiami, preto sa električka mohla pohybovať po koľajniciach bez trenia. Daňou za to bola nutnosť použiť nový typ pohonu. V jej zadnej časti bolo umiestnené delo vystreľujúce guľôčky s hmotnosťou $\SI{10}{\gram}$ smerom dopredu rýchlosťou $\SI{100}{\metre\per\second}$ a s frekvenciou $\SI{10}{\hertz}$ na terčík umiestnený v prednej časti električky. Guľôčky sa od terčíku dokonale pružne odrážali a vďaka otvorenej karosérii dopadali mimo električku.
Aká bola rýchlosť električky po jednej hodine jazdy, ak jej hmotnosť bola desať ton? Predpokladajte, že vystreľovaním guľôčok sa hmotnosť električky nemení.
Akej veľkej chyby sme sa dopustili uvažovaním tohto predpokladu?
V tejto úlohe máme zistiť rýchlosť električky po jednej hodine jazdy na špeciálny pohon – guľôčkové delo. Ako pri všetkých situáciách s pružnými zrážkami, aj tu budeme využívať najmä zákon zachovania hybnosti. V prvej časti budeme uvažovať, že strieľaním guľôčok sa nemení hmotnosť električky.
Najskôr si vypočítajme rýchlosť, ktorú udelíme električke vystrelením jednej gulôčky a jej následným trafením do terča. Na začiatku vystrelíme z dela guľôčku rýchlosťou $v = \SI{100}{\metre\per\second}$. Tento výstrel spôsobí zmenu hybnosti električky v opačnom smere, než letí guľka. Keďže ani guľôčka ani, električka sa pred výstrelom nehýbali, zo zákona zachovania hybnosti vieme, že $$ m_g \cdot \SI{0}{\metre\per\second} + m_e \cdot \SI{0}{\metre\per\second} = m_gv_{gk} + m_ev_{ek}, \qquad(1)$$ z čoho $$ m_g v_{gk} = -m_e v_{ek}, $$ kde indexami $g$, $e$ sú označené hmotnosti a rýchlosti guličky a električky, $k$ značí konečnú rýchlosť. Vyjadrením $v_{ek}$ a dosadením známych hodnôt dostaneme $$ v_{ek} = -\frac{m_g v_{gk}}{m_e} = -\SI{0.0001}{\metre\per\second}. $$ Iba samotné vystrelenie jednej guľôčky teda udelí električke rýchlosť $\SI{0.0001}{\metre\per\second}$.
Teraz započítame aj pružnú zrážku s terčom umiestneným v predku električky.1 $$ m_g \cdot \SI{100}{\metre\per\second} + m_e \cdot \SI{0}{\metre\per\second} = m_g v_{gk} + m_e v_{ek}. $$ Pomocou zákona zachovania mechanickej energie dokážeme odvodiť vzorec platiaci pre pružné zrážky $$ v_{gp} + v_{gk} = v_{ep} + v_{ek}, $$ kde $p$ značí počiatočnú rýchlosť. Z tohto vzťahu si vyjadríme $v_{gk}$ a dosadíme do predošlej rovnice, odkiaľ máme $$ v_{ek} = \frac{2 \cdot \SI{100}{\metre\per\second} \cdot m_g}{m_g + m_e} \doteq \SI{0.0002}{\metre\per\second}. $$ Dostali sme, že samotné trafenie terča guľôčkou udelí električke rýchlosť $\SI{0.0002}{\metre\per\second}$ v kladnom smere.
Vystrelenie guľôčky a trafenie terča teda urýchli električku dokopy o $\SI{-0.0001}{\metre\per\second} + \SI{0.0002}{\metre\per\second} = \SI{0.0001}{\metre\per\second}$. Každú sekundu sa takýchto guľôčok vystrelí $10$ (vieme z frekvencie strieľania). Za jednu hodinu jazdy na takýto pohon sa vystrelí $\num{36000}$ guľôčok a električka bude mať rýchlosť $$ v_e = \SI{3.6}{\metre\per\second}. $$
To bol prípad so zanedbaním úbytku hmotnosti električky v dôsledku strieľania guľôčok.
Pozrime sa teraz na BONUSOVÚ úlohu, kde tento úbytok nezanedbávame.
Označme si $m$ hmotnosť električky, $m_0$ počiatočnú hmotnosť električky aj so všetkými guľôčkami, $\diff m’$ hmotnosť vystrelených guľôčok, $u$ rýchlosť strieľaných gulôčok vzhľadom k električke a $v$ rýchlosť električky, $\diff v$ malú zmenu rýchlosti električky za čas $\diff t$.
Zoberme si hybnosť celej našej sústavy v časoch $t$ a $t + \diff t$. Zo zákona zachovania hybnosti vidíme, že $$ \begin{aligned} p(t) &= p(t + \diff t), \ mv &= (m - \diff m’)(v + \diff v) + \diff m’(v - u), \ mv &= mv + m\diff v - v\diff m’ - \diff m’\diff v + v\diff m’ - u\diff m’. \end{aligned} $$
Člen $-\diff m’\diff v$ je takzvane “vyššieho stupňa malosti”. To znamená, že jeho hodnota je natoľko malá voči ostatným, že je v poriadku tento člen zanedbať, čo aj urobíme. Po vykrátení rovnakých členov nám ostane $$ u\diff m’ = m\diff v. $$ Využijeme, že $\diff m’ = -\diff m$, a prehodíme diferenciály a príslušné veličiny na rovnaké strany $$ \begin{aligned} -u\diff m &= m\diff v, \ \diff v &= -u\frac{\diff m}{m}. \end{aligned} $$
Preintegrovaním oboch strán dostaneme rovnicu $$ \Int[v_0][v]{}{v} = \Int[m_0][m]{-\frac{u}{m}}{m}, $$ ktorá po vyriešení integrálov vyzerá ako $$ v - v_0 = -u\ln\frac{m}{m_0}. $$
Vieme, že počiatočná rýchlosť električky bola $v_0 = \SI{0}{\metre\per\second}$ a počiatočná hmotnosť $m_0 = \SI{10000}{\kilo\gram}$. Hmotnosť $m_g$ všetkých vystrelených guľôčok za hodinu je $m_g = \SI{360}{\kilo\gram}$. Výsledná rýchlosť električky je preto $$ v \doteq \SI{3.67}{\metre\per\second}. $$
Vidíme, že riešenie úlohy sa uvážením zmenšovania hmotnosti električky líši od pôvodného zhruba o $\SI{1.8}{\percent}$.
rovnica 1 nie je zákon zachovania mechanickej energie
Malý protipríklad k nevhodnosti použitia zákona zachovania energie pri výpočte zmeny rýchlosti električky spôsobenej samotným vystrelením guľôčky: Predstavte si, že ste vo vesmíre a držíte guľu. Na začiatku sa nehýbete ani vy, ani guľa. Vaša celková mechanická energia je nulová. Potom ale guľu odhodíte. Zrazu sa hýbete aj vy, aj guľa, akurát v opačnom smere. Každopádne, kinetická energia vás oboch je väčšia ako nula, aj keď na začiatku nulová bola. To isté sa deje v električke pri vystreľovaní guľôčok.
Tu rátame s priblížením, že počas letu a nárazu guľôčky do terča sa električka nehýbe. Ak by sme chceli byť úplne korektní, potrebovali by sme vedieť množstvo guľôčok naraz sa nachádzajúcich vo vzduchu (resp. vzdialenosť terča od dela). V takom prípade by sme ale na zistenie rýchlosti guľôčky po odrazení museli meniť vzťažnú sústavu. Chyba, ktorej sa však naším postupom dopúšťame je natoľko malá, že si túto aproximáciu môžeme dovoliť. ↩