Táto úloha vôbec nie je taká ťažká ako sa na prvý pohľad javí. Všetko čo je potrebné je Pytagorova veta, zovšeobecnený zákon zachovania energie a zákon zachovania momentu hybnosti. Vrhnime sa na Pytagorovu vetu. Na obrázku značíme dostredivú silu ako $F_D$, tiažovú silu ako $G$, ťahovú silu lana ako $T$, polomer otáčania kyvadla ako $R$ a výšku kyvadla $h$. Keďže my fyzici máme radi Index (Cafebar), tak indexami $1$ budeme značiť stavy pred potiahnutím a indexami $2$ stavy po potiahnutí.

Sily a ich smery

Z obrázka a z podobnosti trojuholníkov vidíme, že bude platiť $$ \frac{F_D}{G} = \frac{m\omega^2R}{mg} = \frac{\omega^2R}{g} = \frac{R}{\sqrt{l^2 - R^2}} = \frac{R}{h} \quad\Rightarrow\quad R^2 = l^2 - \frac{g^2}{\omega^4} $$ a teda $$ h^2 = l^2 - R^2 = \frac{g^2}{\omega^4}. $$

Týmto sme vybavili Pytagorovu vetu. Teraz sa pozrime na zákon zachovania momentu hybnosti. Možno sa pýtate: „Patrik, ako to, že platí ZZMH? Veď predsa sa tam koná práca!!“ Odpoveď je prostá, milý Watson. Vonkajšia sila na závažie pôsobí pomocou lanka. Táto sila je ale rovnobežná s polohovým vektorom závažia voči bodu otáčania, takže moment sily $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} = 0$. Zo ZZMH teda dostaneme $$ m\omega_1R_1^2 = m\omega_2R_2^2 \quad\Rightarrow\quad \omega_1l_1^2 - \frac{g^2}{\omega_1^3} = \omega_2l_2^2-\frac{g^2}{\omega_2^3}. $$

$$\omega_2^4 \left(l_2^2\right)-\omega_2^3 \left(\omega_1l_1^2-\frac{g^2}{\omega_1^3}\right)-g^2 = 0$$

Túto rovnicu vyriešime veľmi jednoducho, a to tak, že ju hodíme do Wolfram Alphy :D.

$$\omega_2 \approx \SI{23.55}{\radian\per\second\squared}$$

Teraz sa už iba pozrieme na ZZZE. Ako nulovú hladinu potenciálnej energie zvolíme stôl. Vieme, že vykonaná práca je rozdielom energií medzi dvomi stavmi, a teda bude platiť $$ E_{rot}^1 + E_{pot}^1 = W + E_{rot}^2 + E_{pot}^2 $$ $$ W = \frac{1}{2}\left(I_1\omega_1^2-I_2\omega_2^2\right)+(-mgh_1+mgh_2) $$ $$ W = \frac{1}{2}\left(mR_1^2\omega_1^2-mR_2^2\omega_2^2\right)-mg\frac{g^2}{\omega^4_1}+mg\frac{g^2}{\omega^4_2} $$

Po dosadení všetkých hodnôt dostaneme $$ |W| \approx \SI{51.4}{\joule}. $$