Kubko si tak brázdil ulice hlavného mesta na svojej modrej Fábii. Bolo práve obdobie, keď sa premnožili komáre a tak netrafiť žiadneho z nich predkom auta bolo nemožné.
Kubko vošiel do hustého roja komárov. Priemerná hmotnosť komára je $\SI{5}{\milli\gram}$. V hustom roji komárov je priemerne $1$ komár v $\SI{1}{\centi\metre\cubed}$. O koľko percent stúpne spotreba Kubkovho auta pri prejazde hustým rojom?
Zadanie sa pýta na percentuálnu zmenu spotreby modrej Škody Fábie ak vojde do hustého mraku komárov. Energia, ktorá sa získa z paliva sa stráca všelikde. Na prekonanie odporu vzduchu, valivého trenia pneumatík, zrýchľovanie, zahrievanie motora, prekonávanie trenia prevodovky, trenia piestov v motore a ešte všelikde inde. Pri prejazde mrakom komárov sa stráca ešte aj pri zrážaní komárov.
Vieme však odhadnúť bežnú spotrebu Škody Fábie v meste. Energia, ktorá sa spaľovaním získa z daného obejmu benzínu, sa za normálnych okolností rozdelí na všetky vyššie spomínané straty.
Keď auto vojde do mraku, tak sa pridá ešte strata, ku ktorej dochádza v dôsledku zrážania komárov. Poďme ju teda vypočítať.
Nech má auto čelný prierez $S$, ide rýchlosťou, ktorá má konštantnú veľkosť $v$, objemová hustota komárov je $\rho$, a jeden komár váži $m$. Ak uvažujeme, že komár má pri zrazení náhodnú rýchlosť náhodným smerom, tak priemerný komár sa nehýbe. Preto mu auto udelí hybnosť $p = mv$. Na vzdialenosti $d$ sa preto hybnosť auta kvôli komárom zmenší o
$$\Delta p_a = Sd\rho mv.$$
Pričom platí $d = vt$, kde $t$ je čas ktorý autu trvá prejsť dráhu $d$. Keďže ale auto má stálu veľkosť rýchlosti, tak má aj stálu veľkosť hybnosti. Preto motor počas času $t$ musí pôsobiť silou takou, aby sa hybnosť nezmenila. S využitím vzťahu $\Delta p = Ft$ dostávame
$$F = S\rho m v^2.$$
Odtiaľ získavame prácu, ktorú musí motor vykonať na vzdialenosti $d$ naviac kvôli komárom:
$$W = S\rho m v^2d.$$
Ak $H$ je energia ktorú dostaneme z daného objemu paliva a $\mu$ je účinnosť motora, tak kvôli komárom spálime na úseku $d$ o toľkoto benzínu viac:
$$V = \frac{S\rho mv^2d}{H\mu}.$$
Ak $S_p$ je spotreba auta na jednotku dĺžky, tak pomer spotreby pred a po vjazde do roja komárov je:
$$\frac{S_p d + \frac{S\rho mv^2d}{H\mu}}{S_p d} = \frac{S_p + \frac{S\rho mv^2}{H\mu}}{S_p }$$
Hustotu roja $\rho$ a hmotnosť komára $m$ máme zadané. Zvyšné hodnoty odhadneme (respektíve zistíme na internete). Priemerný odhad spotreby Kubkovej Škody Fábie je približne $\SI{5.9}{\litre} / \SI{100}{\kilo\metre} = \SI{0.000059}{\litre\per\metre}$1 (musíme premeniť na rovnaké jednotky aké bude mať druhý zlomok). Čelný prierez Škody Fábie je okolo $\SI{2.5}{\metre\squared}$, lebo je vysoká približne $\SI{1.5}{\metre}$ a široká približne $\SI{1.8}{\metre}$2. Nech Kubko ide v meste predpísanou rýchlosťou $\SI{50}{\kilo\metre\per\hour} \approx \SI{13.9}{\metre\per\second}$. Výhrevnosť benzínu je $\SI{32}{\mega\joule\per\litre}$3. Účinnosť spaľovacích motorov je zhruba okolo $30\%$4. Po dosadení hodnôt dostávame nárast spotreby o $420\%$.
Pri riešení sme urobili veľa odhadov a aproximácií, ktoré spôsobili, že sme dostali iba odhad. V skutočnosti napríklad spotreba auta nerastie lineárne vzhľadom na prekonávaný odpor, takže dalšia odporová sila sa tiež nepremietne lineárne do spotreby. Alebo tým ako vzduch obteká auto, tak spôsobí, že v skutočnosti nie všetky komáre ktoré sme započítali zrazíme. Niektoré budú odfúknuté obtekajúcim vzduchom a obídu nás. Z odhadu ale vieme určiť, že prírastok spotreby v dôsledku tak hustého roja nie je zanedbatelný.