To prvé, čo ako šikovní fyzici musíme urobiť, je nakresliť si všetky sily, čo v našom systéme pôsobia. Očividne tu bude ťah raketky $F$, ako aj gravitačná sila $F_g$ na ňu pôsobiaca, na jednej strane tyče. Na druhej strane tyče potom bude sila normálová $F_n$, ktorá zabezpečuje, že tyč sa z koľaje neutrhne, a sila trecia $F_t$. Spolu to vyzerá takto:

Figure 1: Raketka

Najprv sa pozrieme na veľkosti týchto síl. Očividne $F_g = mg$ a $F$ je zadané. $F$ vieme rozdeliť na dve zložky: vertikálnu, ktorá raketku odľahčuje, a horizontálnu, ktorá ju urýchľuje pozdĺž koľajnice. $F_n$ potom bude rovná rozdielu $F_g$ a vertikálnej zložky $F$, teda $F_n = mg - F\sin{\varphi}$, kde $\varphi$ je odklon tyče od smeru tiažového zrýchlenia. A napokon, trecia sila je očividne $F_t = fF_n$.

Teraz sa môžeme spýtať, ktoré z týchto síl ovplyvňujú uhlové vychýlenie tyče. Tu môžeme urobiť arbitrárne rozhodnutie, kam umiestnime os otáčania a potom sa jednoducho pozrieme na zodpovedajúce momenty síl. Môže sa zdať rozumné umiestniť os otáčania do miesta dotyku tyče a koľaje, no v skutočnosti bude celý systém omnoho krajší, keď os otáčania umiestnime do ťažiska systému tyč-raketka – čo je, keďže tyč je nehmotná, priamo v raketke. Potom vidíme, že jediné sily, ktoré na systém tyč-raketka pôsobia nenulovým momentom sily sú $F_n$ a $F_t$ (tu by sme ešte po správnosti mali zarátať fiktívnu silu, ktorá je výsledkom toho, že naša zvolená os otáčania je neinerciálna a zrýchľuje zrýchlením $a$, ale keďže tento koniec tyče má nulovú hmotnosť, aj táto fiktívna sila má nulovú magnitúdu - o tom viac v poznámkach na konci). Spomenieme si na vzorec pre veľkosť momentu sily $$ \left|\vec{M}\right| = \left|\vec{F}\right|\left|\vec{r}\right|\sin{\alpha_{F - r}}. $$

Z nákresu ľahko nahliadneme, že celkový moment sily pôsobiaci na raketku je $$ M = F_nL\left(f\cos{\varphi} - \sin{\varphi}\right). $$

Prv, než sa pustíme do skúmania kmitavého pohybu raketky, nájdeme uhol $\alpha$, na ktorom sa systém ustáli pred tým, ako doňho drgneme. V ustálenom stave je uhlové zrýchlenie nulové, a teda pre uhol $\alpha$ platí rovnica $$ f\cos{\alpha}-\sin{\alpha} = 0, $$ čo upravíme na $$ \alpha = \arctan{f}. $$

Na to, aby sme našli pohyb systému, musíme teraz zmeniť bod otáčania na taký, v ktorom máme nenulový moment zotrvačnosti. Až teraz ho teda umiestnime do bodu dotyku tyče a koľajnice. Nesmieme zabudnúť, že tento bod zrýchľuje zrýchlením $\frac{1}{m}\left(F\cos{\varphi}-fF_n\right)$. Keď teda prejdeme do neinerciálnej vzťažnej sústavy vzťahujúcej sa na tento bod, na raketku bude pôsobiť d’Alembertova sila veľkosti $F\cos{\varphi}-fF_n$ opačným smerom ako je smer pohybu, ktorej moment je teda $M_A=-L\left(F(\cos^2{\varphi}+f\sin{\varphi}\cos{\varphi})-fmg\cos{\alpha}\right)$. Okrem nej pre túto os otáčania na raketku pôsobia ešte momenty gravitačnej a ťahovej sily: $M_g=-Lmg\sin{\varphi},M_F=LF$. Ostatné momenty síl (normálovej a trecej) majú nulové rameno sily.

Vzhľadom na to, že systém tyč-raketka je v podstate len hmotný bod, ktorý je od našej zvolenej osi otáčania vzdialený $L$, jeho moment zotrvačnosti je triviálne $I = mL^2$. Napíšeme si moment sily ako súčin momentu zotrvačnosti a uhlového zrýchlenia, dosadíme naše tri nenulové momenty síl a získavame tak našu hlavnú pohybovú rovnicu $$ mL^2 \Derivative[2]{\varphi}{t} = L\left(mg - F\sin{\varphi}\right)\left(f\cos{\varphi} - \sin{\varphi}\right). $$

Toto sa môže na prvý pohľad zdať beznádejné, no ctený čitateľ nech nezúfa – veľa týchto vecí sa vieme zbaviť vďaka aproximáciám. V prvom rade skúsme trochu vyčistiť pravú stranu rovnice: $$ \frac{m}{mg - F\sin{\varphi}}L \Derivative[2]{\varphi}{t} = f\cos{\varphi} - \sin{\varphi} $$

Keďže sa budeme pýtať na malé kmity okolo tohto uhla, bolo by fajn spraviť si novú premennú $\beta$, ktorá popisuje uhlovú výchylku tyče od tohto rovnovážneho stavu. Inými slovami $$ \beta = \varphi - \arctan{f} \qquad\Rightarrow\qquad \varphi = \beta + \arctan{f} \qquad\Rightarrow\qquad \Derivative[2]{\varphi}{t} = \Derivative[2]{\beta}{t}, $$ kde $\beta \ll 1$.

Teraz zoberieme túto substitúciu a postupne ju vrazíme do našej pohybovej rovnice. Začneme zlomkom na ľavej strane: $$ \begin{aligned} \frac{m}{mg - F\sin{\varphi}} &= \frac{m}{mg - F\sin{\left(\beta + \arctan{f}\right)}} \ &= \frac{m}{mg - F\left(\sin{\beta}\cos{\arctan{f}} + \cos{\beta}\sin{\arctan{f}}\right)} \ &= \frac{1}{g}\frac{1}{1 - \frac{F}{mg}\frac{1}{\sqrt{1 + f^2}}\left(\sin{\beta} + f\cos{\beta}\right)} \end{aligned} $$

Zo zadania vieme, že $F\ll mg$, teda $\frac{F}{mg}\ll 1$. Pravú stranu teda vieme aproximovať ako $\frac{1}{g}$, pokiaľ ukážeme, že $\frac{1}{\sqrt{1 + f^2}}\left(\sin{\beta} + f\cos{\beta}\right)\leq 1$. Inými slovami, chceme ukázať, že $$ \sin{\beta} + f\cos{\beta}\leq \sqrt{1 + f^2}. $$

Keďže obe strany rovnice sú kladné (je bezpečné predpokladať, že $\beta\ll f$), táto nerovnica bude platiť, keď bude platiť jej štvorec: $$ \begin{aligned} \left(\sin{\beta} + f\cos{\beta}\right)^2 &\leq 1 + f^2, \ \sin^2{\beta} + f^2\cos^2{\beta} + 2f\sin{\beta}\cos{\beta} &\leq 1 + f^2, \ \beta &\leq \frac{1}{2f}, \end{aligned} $$ čo platí, keďže očakávame, že $f$ nebude rádovo viac ako $1$, pričom v poslednej úprave sme využili, že pre malé $\beta$ platí $\sin \beta \approx \beta$ a $\cos \beta \approx 1$. Našu pohybovú rovnicu teda vieme zapísať ako $$ \frac{L}{g} \Derivative[2]{\varphi}{t} = f\cos{\varphi} - \sin{\varphi}. $$

Teraz dosadíme našu substitúciu aj do zvyšku rovnice a po troche upravovania opäť použijeme aproximácie pre malé uhly: $$ \begin{aligned} \frac{L}{g}\Derivative[2]{\beta}{t} &= f\cos{\left(\beta + \arctan{f}\right)} - \sin{\left(\beta + \arctan{f}\right)} \ &= f\left(\cos{\beta}\cos{\arctan{f}} - \sin{\beta}\sin{\arctan{f}}\right) - \sin{\beta}\cos{\arctan{f}} - \cos{\beta}\sin{\arctan{f}} \ &= f\cos{\beta}\frac{1}{\sqrt{1 + f^2}} - f\sin{\beta}\frac{f}{\sqrt{1 + f^2}} - \sin{\beta}\frac{1}{\sqrt{1 + f^2}} - \cos{\beta}\frac{f}{\sqrt{1 + f^2}} \ &= -\sin{\beta}\frac{1 + f^2}{\sqrt{1 + f^2}} \ \frac{L}{g}\Derivative[2]{\beta}{t} &= -\sqrt{1 + f^2}\beta \end{aligned} $$

V tomto už spoznávame rovnicu harmonického oscilátora hmotnosti $\frac{L}{g}$ a tuhosti $\sqrt{1 + f^2}$. Uhlová rýchlosť je potom jednoducho $$ \omega = \sqrt{\frac{g\sqrt{1 + f^2}}{L}}. $$

Poznámka č. 1

V tejto úlohe sa veľmi silno používajú niektoré nie úplne známe trigonometrické identity, konkrétne $$ \sin{\arctan{x}} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \QQText{a} \cos{\arctan{x}} = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}. $$

Takéto veci si nikto nepamätá všetky a preto je fajn, že sa dajú nájsť na internete, napríklad na Wikipédii v článku https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities.

Poznámka č. 2

Ak by sme os otáčania predsa len umiestnili do bodu dotyku tyče s koľajnicou, museli by sme spraviť ešte jeden krok – konkrétne zarátať fiktívnu silu (a teda aj fiktívny moment sily) pôsobiacu na raketku. Tá vznikla, keď sme prešli do neinerciálnej vzťažnej sústavy zrýchľujúcej spolu s raketkou so zrýchlením daným rozdielom horizontálnej zložky ťahu raketky a trecej sily pôsobiacej na systém tyč-raketka. To by vyprodukovalo niekoľko škaredých rovníc, ktorým sme sa tu úspešne vyhli – konečný výsledok by bol ale pochopiteľne rovnaký.

Pozorný čitateľ sa možno pozastavil nad tým, že tým, že sme umiestnili os otáčania do jediného hmotného bodu v našom systéme, sme eliminovali všetky fiktívne sily v rátaní stabilnej výchylky $\alpha$. Hoci os otáčania je stále neinerciálna, fiktívna sila pôsobiaca na každý komponent vo vzťažnej sústave osi otáčania je úmerná hmotnosti tohoto komponentu, a všetky tieto komponenty (v našom prípade len ten koniec tyče, ktorý sa dotýka koľajnice) majú nulovú hmotnosť.

Toto ale vyúsťuje v to, že $\alpha$ je funkciou jedine parametra $f$ a nezávisí od hodnôt $F$ a $m$. Toto sa môže zdať ako chyba – napokon, ak by sme dali $m$ veľmi veľké (a teda aj tiaž by bola veľká), ale $F$ veľmi malé, raketka by sotva dosiahla uhol $\arctan{f}$ pre arbitrárne $f$! Tu to ale vyjde tak, že kým raketka nedosiahne tento uhol, systém sa po koľaji nerozbehne, keďže horizontálna zložka ťahu nedosiahne hodnotu $fF_n$ (a teda aj skutočná hodnota $F_f$ bude menšia než $fF_n$). Inými slovami, do istej hodnoty $F$ sa raketka len čoraz viac nakláňa, až kým $F_f$ nedosiahne $fF_n$, a vtedy sa celý systém rozbehne – a toto je vždy pri uhle naklonenia $\arctan{f}$. No a keďže v zadáni je napísané, že raketka sa hýbe, môžeme predpokladať, že $f$ je dostatočne malé na to, aby bol tento uhol dosiahnutý, aj keď $F \ll mg$.