Tak poďme začať!

Aby sme dokázali určiť zrýchlenie akéhokoľvek telesa, potrebujeme poznať jeho hmotnosť a všetky sily, ktoré naň pôsobia. Hmotnosť kocky máme zadanú – $m$. Zostáva teda už len zistiť, aké na ňu pôsobia sily. V smere nahor a nadol (z a do obrázka) pôsobia sily, ktoré sa vzájomne vyrovnajú, keďže sa kocka v tomto smere nehýbe. Sú to tiažová sila a normálová sila od kvádrika. Nebudú nás priveľmi zaujímať, poznamenajme, že obe majú veľkosť $mg$, kde $g$ je tiažové zrýchlenie.

Potom sú tu ešte sily, ktoré ležia v rovine obrázka. S tými to bude trochu ťažšie.

Prvá veľmi očividná je sila $\vec{F}$, ktorou ťaháme za kvádrik. Tá síce nepôsobí na kocku, ale je zaujímavá svojím smerom a veľkosťou, s ktorými budeme ďalej pracovať. Táto sila udeľuje kvádriku nejaké zrýchlenie, avšak ako uvidíme, nie je jediná. Označme preto zrýchlenie kvádrika po koľajničkách ako $a_0$.

Ďalšia očividná sila (tentoraz už pôsobí na kocku) je sila od lanka na kladkách. Keďže lanko je dokonale pevné, nikde sa nenaťahuje ani neskracuje. O koľko sa posunie kvádrik, o toľko potiahne lanko kocku (hoc iným smerom). Rovnako to teda musí byť aj s rýchlosťami – ako rýchlo sa ťahá kvádrik, tak rýchlo sa ťahá kocka. A aj so zrýchleniami. Teda sila od lanka na kladkách pôsobiaca na kocku bude mať veľkosť tiež $a_0$, a smer bude mať nahor.

Figure 1: Zrýchlenia $a_0$

Tretia sila, hoc trochu skrytejšia, je trecia. Práve ona zabezpečuje, že sa kocka pohybuje s kvádrikom. V ďalšom budeme uvažovať len, že trenie je maximálne možné, teda že bude mať veľkosť normálovej sily krát súčiniteľ šmykového trenia $f$, teda $\left|F_t\right| = mgf$. Udeľule teda zrýchlenie $gf$. Ale aký bude mať smer? Odpoveď poznáme – smer bude proti smeru vzájomnej rýchlosti trejúcich sa plôch. Lenže na to potrebujeme poznať, akým smerom zrýchľuje (a teda pohybuje sa, v prvom momente) kocka vzhľadom na kvádrik.

To nás núti prejsť do nami toľko milovanej neinerciálnej vzťažnej sústavy spojenej s kvádrikom. V tejto existuje práve jedna neinerciálna sila, a to $-\vec{F}$. Tá má príslušné zrýchlenie veľkosti $a_0$ v smere $-\vec{F}$. Navyše má teleso zrýchlenie $a_0$ v smere kolmo nahor. Vektorovým súčtom týchto zrýchlení bude zrýchlenie v smere šikmo nahor-doľava, keďže zrýchlenia majú rovnakú veľkosť, z Pytagorovej vety má ich súčet veľkosť $a_0\sqrt2$. Práve toto je v prvom momente smer a veľkosť zrýchlenia kocky vzhľadom na kvádrik, a tak i smer rýchlosti vzhľadom na kvádrik. Tým pádom je to kýžený smer rýchlosti trejúcich sa plôch. Zrýchlenie dané trecou silou tak má spomínanú veľkosť a $gf$ a smer opačný, ako vektorový súčet zvyšných dvoch síl, tak ako na obrázku (áno, ide o štyridsaťpäťstupňový uhol).

Presne opačná sila však musí pôsobiť aj na kvádrik! Z nej ale môže pôsobiť len zložka v smere koľajničiek. Tá má (vďaka štyridsaťpäťstupňovému uhlu) veľkosť $\frac{gf}{\sqrt{2}}$. Teraz už vieme určiť zrýchlenie kvádrika, $a_0 = \frac{F}{M + m} - \frac{gf}{\sqrt{2}}$.

Figure 2: Smer trenia

Nuž, a teraz zostáva len vektorovo sčítať zrýchlenia sily od lanka na kladkách a trecej sily. Treciu silu môžeme rozložiť na zložku v smere sily $\vec{F}$ a v protismere sily od kladiek, obe zložky budú mať rovnakú veľkosť $\frac{gf}{\sqrt{2}}$.

Figure 3: Zložky výsledného zrýchlenia

Veľkosť výsledného zrýchlenia teda i z poslednej Pytagorovej vety bude $$ a = \sqrt{\left(a_0 - \frac{gf}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{gf}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{F}{M + m} - \frac{2gf}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{gf}{\sqrt{2}}\right)^2}. $$

Smer zrýchlenia je trochu ťažší, ale s trochou geometrie si ľahko uvedomíme, že uhol, ktorý výsledné zrýchlenie zviera so smerom sily $\vec{F}$ je $$ \alpha = \frac{\pi}{4} - \arctan\left(\frac{\frac{F}{M+m} - \frac{2gf}{\sqrt{2}}}{\frac{gf}{\sqrt{2}}}\right). $$

Figure 4: Smer výsledného zrýchlenia