Táto úloha na prvý pohľad nevyzerala veľmi vábne, no v skutočnosti to vôbec nebolo také bolestivé. Ako prvé si uvedomíme, že forma kinetickej energie bude v tomto prípade rotačná, ktorú vypočítame ako $\frac{1}{2}I\omega^2$, kde $I$ je moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na nejakú os a $\omega$ je uhlová rýchlosť okolo tejto osi. Máme tu dva rotačné pohyby: jeden očividný, a to otáčanie kolesa okolo vlastnej osi uhlovou rýchlosťou $\omega$ a druhý pozostáva z otáčania tyče dĺžky $R$ spolu s kolesom okolo tyče dĺžky $r$. Zo zadania vieme, že počas druhého pohybu sa koleso otáča po zemi bez prešmykovania, a teda jeho translačná rýchlosť $v_t$ je rovnaká ako obvodová $v_o$: $$ v_o =\omega r = v_t. $$

Ďalej si musíme uvedomiť, že translačná rýchlosť kolesa je vlastne obvodová rýchlosť točiacej sa tyče dĺžky $R$. Z toho vyplýva, že jej uhlová rýchlosť, nazvime ju $\Omega$, bude $$ \Omega = \frac{v_t}{R} = \frac{\omega r}{R}. $$

Keď už sme si vyjasnili rýchlosti, poďme sa pozrieť na to druhé – moment zotrvačnosti. Zaznačme si do obrázka tri osi, na ktoré sa budeme odkazovať.

* Tri dôležité osi otáčania *

Prvá prechádza stredom kolesa, druhá je kolmá na tyč dĺžky $R$ a prechádza rovinou kolesa a tretia je predĺžením tyče dĺžky $r$. Vybavme najskôr prvý otáčavý pohyb, teda točenie kolesa okolo osi 1. Keďže naše koleso má hmotnosť $m$ so zanedbateľnými priečkami, každý element jeho hmotnosti je rovnako vzdialený od osi $1$ a to presne polomer $r$. Jeho moment zotrvačnosti bude jednoducho $I_1 = mr^2$. Keď to skombinujeme s tým, že okolo osi $1$ sa koleso točí uhlovou rýchlosťou $\omega$, získame prvú časť výsledku, a teda že rotačná energia tohto pohybu je $$ E_{r1} = \frac{1}{2}I_1\omega^2 = \frac{1}{2}mr^2\omega^2. $$

Ako sme vraveli, druhá časť rotačnej energie bude pochádzať z pohybu okolo osi $3$, kde rýchlosť točenia je $\Omega$. Aký je však moment zotrvačnosti kolesa vzhľadom na túto os? Na to použijeme Steinerovu vetu, ktorá vraví, že ak poznáme moment zotrvačnosti telesa $I_0$ vzhľadom na os prechádzajúcu jeho ťažiskom a chcem vypočítať moment zotrvačnosti $I$ okolo rovnobežnej osi neprechádzajúcej ťažiskom vzdialenú $d$ od prvej osi, platí $I=I_0+md^2$.

To znamená, že by bolo pre nás výhodné, keby sme poznali moment zotrvačnosti kolesa vzhľadom na os $2$, lebo potom by sme si ten okolo osi $3$ mohli jednoducho dopočítať. To nie je žiadny problém, lebo moment zotrvačnosti kolesa vzhľadom na os $2$ v rovine kolesa prechádzajúcu jeho ťažiskom je ľahko nájditeľný na internete (pre integrovania nechtivých), a je $I_2=\frac{1}{2}mr^2$. Moment zotrvačnosti kolesa vzhľadom na os $3$ bude podľa Steinerovej vety $$ I_3 = I_2 + mR^2 = \frac{1}{2}mr^2 + mR^2 = m\left(\frac{r^2}{2} + R^2\right). $$

Toto bol posledný kúsok skladačky. Vieme, že okolo osi $3$ obieha koleso uhlovou rýchlosťou $\Omega$, a že tyč dĺžky R je nehmotná, a teda môžeme vypočítať druhú časť rotačnej energie $$ E_{r2} = \frac{1}{2} I_3\Omega^2 = \frac{1}{2}m\left(\frac{r^2}{2} + R^2\right)\Omega^2 = \frac{1}{2}m \left(\frac{r^2}{2} + R^2\right)\left(\frac{\omega r}{R}\right)^2 = \frac{1}{2}m\left(\frac{\omega r^4}{2R}+\omega^2r^2\right). $$

Ostáva nám už len spokojne tieto energie sčítať a radovať sa $$ E = E_{r1} + E_{r2} = \frac{1}{2}mr^2\omega^2 + \frac{1}{2}m\left(\frac{\omega r^4}{2R} + \omega^2r^2\right) = \frac{1}{2} mr^2 \omega^2\left(\frac{r^2}{2R} + 2\right). $$