Ako je v zadaní povedané, body sa budú pružne zrážať. To znamená, že okrem hybnosti sa každou zrážkou nezmení ani ich energia. Označme $u_n$ rýchlosť hmotného bodu s hmotnosťou $M$ po $n$-tej zrážke, pričom $u_0=u$. Analogicky definujeme aj $v_n$, pričom $v_0=0$. Zákon zachovania mechanickej energie môžeme zapísať ako $$ \frac{1}{2}Mu_n^2+\frac{1}{2}mv_n^2=\frac{1}{2}Mu_{n+1}^2+\frac{1}{2}mv_{n+1}^2 $$

Aby sme užitočne sformulovali zákon zachovania hybnosti počas zrážky, musíme si ujasniť niektoré smery rýchlostí (znamienka pri jednotlivých členoch). Pred $n+1$-ou zrážkou sa k stene rýchlosťou $u_n$ blíži ťažší z hmotných bodov, pričom naproti mu ide ľahší rýchlosťou $v_n$, ktorou sa po $n$-tej zrážke a pred odrazom od steny hýbal smerom k stene [^1]. Teda $$ Mu_n-mv_n=Mu_{n+1}+mv_{n+1} $$

Skúsenosť hovorí, že je užitočné poriadne si oba vzťahy upraviť[^2] na tvar $$ M(u_n-u_{n+1})(u_n+u_{n+1})=m(v_{n+1}+v_n)(v_{n+1}-v_n) $$ $$ M(u_n-u_{n+1})=m(v_n+v_{n+1}) $$ Táto sústava rovníc má dve riešenia. Jedno z nich je ale triviálny proces “nič sa nestane”[^3]. Ak s ním nerátame, je ekvivalentnou úpravou predeliť prvú rovnicu druhou.

Dostaneme sústavu už len lineárnych rovníc $$ u_n+u_{n+1}=v_{n+1}-v_n $$ $$ M(u_n-u_{n+1})=m(v_n+v_{n+1}) $$

Tá sa dá ľahko vyriešiť štandardnými metódami. Výsledkom sú nasledujúce vzťahy: $$ u_{n+1}=\frac{M-m}{M+m}u_n-\frac{2m}{M+m}v_n $$ $$ v_{n+1}=\frac{M-m}{M+m}v_n+\frac{2M}{M+m}u_n $$

Pre potreby ďalšieho počítania je vhodné predeliť obe rovnice $u$ (t.j. vyjadrovať ďalej rýchlosti v jednotkách $u$), a dosadiť za $M$ hodnotu zo zadania. Vzťahy nadobudnú podobu: $$ \frac{u_{n+1}}{u}=\frac{999}{1001}\frac{u_n}{u}-\frac{2}{1001}\frac{v_n}{u} $$ $$ \frac{v_{n+1}}{u}=\frac{999}{1001}\frac{v_n}{u}+\frac{2000}{1001}\frac{u_n}{u} $$ Pričom počiatočné podmienky sú po novom $\frac{u_0}{u}=1$ a $\frac{v_0}{u}=0$.

Ešte treba podoknúť, že nás zaujíma také $n$, že $u_n$ bude záporné (vtedy sa ťažší hmotný bod začne od steny vzdaľovať). Už sme plne vyzbrojený zapnúť tabuľkový kalkulátor a v priebehu pár minúť zodpovedať prvú otázku zo zadania. Na zodpovedanie druhej nám však treba sledovať aj nejakú polohu zrážok. Označme teda $L_n$ vzdialenosť bodov od steny počas $n+1$-ej zrážky[^4]. Označme pracovne čas od $n-1$-ej do $n$-tej zrážky $t_n$. Ak sa zamyslíme nad tým, ako sa budú hýbať body medzi zrážkami, mali by sme pomerne rýchlo dospieť k týmto vzťahom[^5]: $$ L_n=L_{n-1}-u_nt_n $$ $$ v_nt_n=L_n+L_{n-1} $$ Z nich vieme vyjadriť: $$ L_n=\frac{v_n-u_n}{v_n+u_n}L_{n-1} $$ Pre potreby numerického riešenia je zase potrebným prerobenie do bezrozmerných veličín ($\frac{L_0}{L}=1$): $$ \frac{L_n}{L}=\frac{\frac{v_n}{u}-\frac{u_n}{u}}{\frac{v_n}{u}+\frac{u_n}{u}}\frac{L_{n-1}}{L} $$

Už stačí len pošrotiť uvedené vzťahy v tabuľkovom kalkulátore[^6] (i keď presnosť výpočtov bola väčšia, uvádzame hodnoty s presnosťou len na 3 desatinné miesta).

Vidíme, že pre hodnoty zo zadania sú odpovede na otázky zo zadania $25$ a približne $0.032L$.

1. Za spomenutie stojí, že aj keď sa hybnosť zachováva medzi počas zrážky, nezachováva sa celkovo, a to kvôli odrazom ľahšieho bodu od steny.↩

2. Použijúc $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.↩

3. Triviálne totiž spĺňa ako ZZH, tak aj ZZE.↩

4. Zdá sa to síce neprirodzené, ale umožňuje nám to mať $L_0=L$. Je to teda vzdialenosť, v ktorej sa zrazia body keď majú rýchlosti $u_n$, $v_n$↩

5. Ak sa vám nepozdávajú, skúste naformulovať ich tvrdenia slovne. Vie to veci ujasniť.↩

6. Na motiváciu do budúcna upriamime pozornosť na krásnu kosínusovú, respektíve sínusovú závislosť $u_n$, respektíve $v_n$↩