Najprv si skúsme uvedomiť, aké sily na kváder pôsobia. Budú to tiažová sila $F_g$, normálová sila od podložky $F_n$ a trecia sila $F_t$. Tiažovú silu môžeme rozdeliť na dve zložky – kolmú na naklonenú rovinu (jej účinok je vyrovnaný s účinkom normálovej sily $F_n$) a rovnobežnú s rovinou (v smere najväčšieho poklesu), označíme ju $F_r$. Rozložením síl zistíme, že kolmá zložka má veľkosť $F_n = m g \cos{\alpha}$ a rovnobežná má veľkosť $F_r = m g \sin{\alpha}$.

Pre treciu silu platí, že jej veľkosť je $F_t = f F_n$,¹ čo v našom prípade znamená, že $F_t = m g \cos{\alpha} \tan{\alpha} = m g \sin {\alpha}$. Jej smer je proti pohybu kvádra – t. j. proti smeru vektora aktuálnej rýchlosti. Tento výsledok je zaujímavý, lebo zisťujeme, že veľkosť sily $F_t = F_r$.

Teraz už vieme, že na kváder pôsobia dve sily spôsobujúce dvojicu zrýchlení – jedného smerom nadol² a jedného proti smeru jeho pohybu. Ako teda spolu pôsobia na sústavu? Pozrime, čo sa udeje za krátky čas $\Delta t$. Zaň stihne trecia sila zmenšiť celkovú rýchlosť $v_c$ kvádra o $\Delta v_c = \frac {F_t}{m} \Delta t$, zatiaľ čo pozdĺžna zložka tiažovej sily zväčší pozdĺžnu časť rýchlosti $v_y$ o $\Delta v_y = \frac {F_y}{m} \Delta t$. Tu si spomeňme, že $\left|F_r\right| = \left|F_t\right|$. To ľudskou rečou znamená, že o koľko sa zmenší celková rýchlosť kvádra, o toľko sa zvýši pozdĺžna zložka tejto rýchlosti. Matematicky zapísané $v_c + v_y = C$, kde $C$ je konštanta.

V pohode? No nie tak rýchlo! Je tu totiž istá zrada, ktorá si zaslúži nasledujúce úvahy. Na chybu vo vzoráku nás upozornil Filip Čermák, za čo mu na tomto mieste veľmi pekne a úprimne ďakujeme.

Chyba v tejto úvahe je totiž v tom, že platí síce, že $\left|F_r\right| = \left|F_t\right|$, ale už nie je pravda, že $\Delta v_c = \frac {F_t}{m} \Delta t$ (Správne to má byť $\Delta v_c = \frac {F_t-F_{rz}}{m} \Delta t$ kde $F_{rz}$ je istá zložka sily $F_t$). Do zmeny celkovej rýchlosti totiž okrem samotnej trecej sily prispieva aj sila $F_r$, ktorá vždy pôsobí tým istým smerom, ktorý nie je zhodný s $F_t$. Môžete si rozmyslieť, že tvrdenie $v_c + v_y = C$ platí v prvých fázach pohybu, ked je sila $F_t$ kolmá na $v$, no nie je vôbec jasné, že bude platiť vždy. Nerobme preto žiadne unáhlené závery a skúsme naozaj poctivo dokázať, že $v_c + v_y = C$.

Pozrieme sa teraz, čo sa udeje s kvádrom za malý čas $\Delta t$. Napíšme si teda pohybové rovnice pre pohyb kvádra. Celkovú rýchlosť kvádra môžeme rozložiť do spomínaných smerov na zložky $v_x$ a $v_y$. Keďže trecia sila $F_t$ pôsobí proti smeru aktuálnej rýchlosti $v_c$, má zložku v obidvoch smeroch. Veľkosť zložky trecej sily v danom smere je úmerná veľkosti zložky rýchlosti ku celkovej rýchlosti kvádra v danom smere (vyplýva to z jednoduchej geometrie – viď obrázok).

* Pohyb Jimiho kvádrika (ktorý má zhodou okolností kruhovú podstavu :P) s príslušným rozkladom do zložiek rýchlostí a síl v našej sústave. *

Preto zložky trecej sily v jednotlivých smeroch sú $$\begin{align} F_{\mathrm{tx}} &= F_t \sin{\beta} = F \frac{v_x}{v_c}\text{,}\ F_{\mathrm{ty}} &= F_t \cos{\beta} = F \frac{v_y}{v_c}\text{.} \end{align}$$ Napíšme si teraz pohybové rovnice pre pohyb kvádra v smere najstrmšieho poklesu výšky ($y$) a v kolmom smere naň ($x$). $$\begin{align} a_x &= \frac{\Delta v_x}{\Delta t} = -\frac{F_{\mathrm{tx}}}{m} = \frac{F}{m}\left(-\frac{v_x}{v_c}\right)\text{,}\ a_y &= \frac{\Delta v_y}{\Delta t} = \frac{F_r}{m}-\frac{F_{\mathrm{ty}}}{m} = \frac{F}{m}\left(1-\frac{v_y}{v_c}\right)\text{.} \end{align}$$ Skúsme si teraz ešte vypočítať, ako súvisí zmena celkovej rýchlosti $\Delta v_c$ so zmenou jej zložiek v $y$-ovom ($\Delta v_y$) a $x$-ovom smere ($\Delta v_x$). Vieme, že platí $v_c^2 = v_x^2 + v_y^2$. Ide teda o Pytagorovu vetu. Pre lepšiu predstavivovosť sa nám zíde nasledujúca geometrická interpretácia. Predstavme si pravouhlý trojuholník s preponou dĺžky $c$ a odvesnami s dĺžkami $a$ a $b$.

* Dve šikmé čiarky naozaj chcú značiť rovnobežnosť. Môžeme si to dovoliť, lebo pri malej zmene $\Delta c$ sa $\alpha$ zmení iba málo. *

Pre pravouhlý trojuholník platí Pytagorova veta $c^2 = a^2 + b^2$. Ak zväčšíme jednu odvesnu o $\Delta a$, odvesna sa zväčší (podobnosť trojuholníkov) o (približne) $$ \Delta c = \Delta a \cos(\alpha) = \frac{a}{c} \Delta a\text{,} $$

Pre tých z Vás, ktorý majú radšej výpočty: k rovnakému výsledku sa dopracujeme, ak od ${\left(c+\Delta c\right)}^2$ odpočítame $c^2$ a zanedbáme ${\left(\Delta c\right)}^2$ a ${\left(\Delta a\right)}^2$³, $$\begin{align} {\left(c+\Delta c\right)}^2 - c^2 &= \left({\left(a+\Delta a\right)}^2 + b^2\right) - \left(a^2 + b^2\right)\text{,}\ c^2 + 2c\Delta c + {\Delta c}^2 - c^2 &= \left(a^2 + 2a\Delta a + {\Delta a}^2\right) - \left(a^2 + b^2\right)\text{,}\ 2c\Delta c &\approx 2a\Delta a\text{,}\ \Delta c &\approx \frac{a}{c}\Delta a\text{.} \end{align}$$

Obe úvahy môžeme rozšíriť aj na druhú odvesnu, a preto $$ \Delta v_c = \frac{v_x}{v_c}\Delta v_x + \frac{v_y}{v_c}\Delta v_y\text{.} $$

Skúsme teraz vypočítať, čomu je rovné $\Delta v_c + \Delta v_y$. Ak nám víde, že je to nula, tak sme vyhrali, lebo potom musí platiť, že súčet $v_y + v_c$ je konštantný. $$\begin{align} \Delta v_c + \Delta v_y &= \left(\frac{v_x}{v_c}\Delta v_x + \frac{v_y}{v_c}\Delta v_y\right) + \Delta v_y = \left(-{\left(\frac{v_x}{v_c}\right)}^2\frac{F}{m} + \frac{v_y}{v_c}{\left(1-\frac{v_y}{v_c}\right)}\frac{F}{m}\right) + {\left(1-\frac{v_y}{v_c}\right)}\frac{F}{m}\text{,}\ &= -{\left(\frac{v_x^2}{v_c^2}\right)}\frac{F}{m} + \left(1-\frac{v_y}{v_c}\right)\left(1+\frac{v_y}{v_c}\right)\frac{F}{m}\text{,}\ &= \left(1-\frac{v_x^2+v_y^2}{v_c^2}\right)\frac{F}{m} = 0\text{,} \end{align}$$ keďže $v_x$ a $v_y$ sú iba zložky $v_c$, a teda $v_c^2 = v_x^2 + v_y^2$. Naozaj teda platí $\Delta v_c + \Delta v_y = 0$, a to vo všetkých fázach pohybu! Preto sa súčet $v_c + v_y$ zachováva. Teda matematicky zapísané ($C$ je konštanta): $$ v_c + v_y = C\text{!} $$

Na začiatku pohybu je $v_y = 0$ a $v_c = \sqrt{v_x^2+v_y^2} = v_x = v$, preto $C = v$. Teraz potom, čo sme si už naozaj poctivo dokázali tvrdenie $v_c + v_y = C$, sa pozrime sa na ustálený stav pohybu kvádra. Ten nastane vtedy, keď sa sily naň pôsobiace vyrovnajú. No, a to sa stane iba v prípade, keď sa kváder bude hýbať v smere najväčšieho poklesu (áno, bude to trvať nekonečne dlho). Vzťah pre rýchlosť $v_c + v_y = v$ bude platiť aj vtedy. Teda platí $v_c = v_y$, lebo $v_c$ má iba zložku v smere najstrmšieho poklesu výšky na naklonenej rovine. Preto môžeme dosadiť $v_y + v_y = 2 v_y = C = v$, a teda $v_y$ v ustálenom stave je rovná $v/2$.

Takto sme zistili, že po dlhom čase bude mať rýchlosť rovnaký smer, ako je smer najväčšieho poklesu a jej veľkosť bude $\frac{v}{2}$. Ešte by ste sa mohli spýtať, či by kváder nemohol počas svojho pohybu zastať. Sila $F_r$ však pôsobí neustále, a až keď nastane ustálený stav, jej smer sa vyrovná so silou $F_t$, a preto v každom okamihu urýchľuje kvádrik v smere najstrmšieho poklesu výšky, čím mu bráni v tom, aby sa zastavil.

Poznámka pre simulantov v Exceli a podobné tvory

Mnoho z Vás sa numerickou simuláciou dopracovalo k správnemu výsledku. A zistili ste, že v takom prípade, nech je $\alpha$ akékoľvek, výsledok to neovplyvní. V tomto okamihu by ste mali spozornieť, pretože sa tu deje niečo podozrivé. Navyše podozrivá je aj jedna polovica. Odteraz by Vám mala v hlave svietiť kontrolka, že ak je výsledok jednoduchý, je možné, že sa k výsledku dá dopracovať aj s použitím papiera a pera.

Poznámka pre drtičov, dostatočne skazených deriváciami, integrálmi či diferenciálnymi rovnicami

Niekedy je riešenie fyzikálneho problému naozaj jednoduché, no vyžaduje si to dostatočnú pozornosť na všetky detaily problému a dôsledné uvedomenie si toho, čo tieto fakty naozaj znamenajú.