Najprv si musíme uvedomiť, aké sily pôsobia na závažie. Pôsobí na neho Slnko gravitačnou silou, pružina svojou vlastnou silou a odstredivá sila, pretože obieha okolo Slnka. Závažie je k nehmotnému bodu pripútané tak, že sa môže hýbať len v radiálnom smere, čiže jeho uhlová rýchlosť je rovnaká, ako uhlová rýchlosť telesa obiehajúceho Slnko po kružnici s polomerom $R$. Tú vypočítame z rovnosti gravitačnej a odstredivej sily:

$$ \frac{GMm}{R^2} = m \omega_0^2 R \qquad\Rightarrow\qquad \omega_0 = \sqrt{\frac{GM}{R^3}}. $$

Označme $x$ výchylku pružiny z jej rovnovážnej polohy, pričom za kladnú považujeme výchylku smerom k Slnku. Hmotný bod môže kmitať iba okolo rovnovážnej polohy, kde je súčet síl naň pôsobiacich nulový, teda

$$ \begin{aligned} \frac{GMm}{(R - x)^2} - \frac{GMm}{R^3} (R - x) - kx &= 0 \ GMmR^3 - 3GMm(R - x)^3 - kxR^3 (R - x)^2 &= 0. \end{aligned} $$

Keď zátvorky umocníme a pre prehľadnosť zavedieme substitúcie $\omega_0^2 = \frac{GM}{R^3}$ a $\omega_p^2 = \frac{k}{m}$, tak dostaneme kubickú rovnicu

$$ (\omega_0^2 - \omega_p^2) x^3 + R (2 \omega_p^2 - 3 \omega_0^2) x^2 + R^2 (3 \omega_0^2 - \omega_p^2) x = 0. $$

Máme šťastie, pretože jedno jej riešenie hneď vidíme. Je to $x_1 = 0$. Teraz môžeme $x$ z rovnice vykrátiť, čím už dostaneme kvadratickú rovnicu, ktorá má dve riešenia

$$ x_{2,3} = \frac{2 \omega_p^2 - 3 \omega_0^2 \pm \sqrt{4 \omega_0^2 \omega_p^2 - 3 \omega_0^4}} {2(\omega_p^2 - \omega_0^2)} R. $$

Použijeme ešte jednu substitúciu $\alpha = \frac{\omega_p^2}{\omega_0^2}$, čím sa riešenia zjednodušia na

$$ x_{2,3} = \frac{2 \alpha - 3 \pm \sqrt{4 \alpha - 3}}{2(\alpha - 1)} R. $$

Zadanie po nás chce malé kmity, teda musí byť $R - x > 0$, kde $R - x$ je vzdialenosť hmotného bodu od Slnka. Pravdaže je možné aj $R - x < 0$, ale to by znamenalo, že hmotný bod by bol vychýlený až tak veľmi, že by prekmitol cez Slnko, čo určite nie sú malé kmity. Pre $x_1$ je podmienka zjavne splnená, pre ďalšie dve riešenia je

$$ R - x_{2,3} = \frac{1 \pm \sqrt{4 \alpha - 3}}{2(\alpha - 1)} R > 0. $$

Aby bol tento výraz vôbec definovaný, musí byť $\alpha \geq \frac{3}{4}$ a $\alpha \neq 1$. Pre $\frac{3}{4} \leq \alpha < 1$ je menovateľ záporný a čitateľ kladný v oboch prípadoch $\pm$ pred odmocninou, teda celý zlomok je záporný, a to nechceme. Ale pre $\alpha > 1$ je nerovnosť splnená pri riešení s $+$ pred odmocninou. Tým sme zistili, že z troch možných riešení rovnice dávajú v tejto úlohe fyzikálny zmysel iba rovnovážne polohy, v ktorých je výchylka pružiny $x_1 = 0$ a $x_2 = \frac{2 \alpha - 3 + \sqrt{4 \alpha - 3}}{2(\alpha - 1)} R$, t.j. sú od Slnka vzdialené $R_1 = R - x_1 = R$ a $R_2 = R - x_2 = \frac{1 + \sqrt{4 \alpha - 3}}{2(\alpha - 1)} R$.

Keď poznáme rovnovážne polohy, periódu malých kmitov už hravo zvládneme. Ak hmotný bod vychýlime o malú výchylku $y$ z rovnovážnej polohy $R_1$, bude naň pôsobiť sila

$$ ma = \frac{GMm}{(R_1 - y)^2} - \frac{GMm}{R_1^3} (R_1 - y) - ky. $$

Toto by sme nejako chceli upraviť do tvaru $a = - \omega^2 y$, čo je rovnica harmonického oscilátora s frekvenciou $\omega$. Preto využijeme Taylorov rozvoj v okolí $y = 0$, čiže $\frac{1}{(R_1 - y)^2} \approx \frac{1}{R_1^2} + \frac{2y}{R_1^3}$. Obmedzili sme sa na prvý rád $y$, keďže nás zaujímajú malé kmity. Tým sa nám rovnica zjednodušila na

$$ ma = GMm \left(\frac{1}{R_1^2} + \frac{2y}{R_1^3}\right) - \frac{GMm}{R_1^3} (R_1 - y) - ky, $$

čo upravíme na

$$ a = - (\omega_p^2 - 3 \omega_0^2) y. $$

Frekvencia malých kmitov okolo rovnovážnej polohy $R_1$ je teda $\sqrt{\omega_p^2 - 3 \omega_0^2}$, čo znamená, že ich perióda je

$$ T_1 = \frac{2 \pi}{\sqrt{\omega_p^2 - 3 \omega_0^2}} = \frac{2 \pi}{\sqrt{\frac{k}{m} - 3 \frac{GM}{R^3}}}. $$

Pre výchylku $y$ od $R_2$ dostávame veľmi podobnú rovnicu

$$ ma = \frac{GMm}{(R_2 - y)^2} - \frac{GMm}{R^3} (R_2 - y) - k(x_2 + y), $$

kde opäť využijeme $\frac{1}{(R_2 - y)^2} \approx \frac{1}{R_2^2} + \frac{2y}{R_2^3}$ a po roznásobení aj $\frac{GMm}{R_2} - \frac{GMm}{R^3} R_2 - kx_2 = 0$, keďže ide o rovnovážnu polohu. Tým dostaneme rovnicu

$$ a = - \left(\frac{k}{m} - GM \left(\frac{2}{R_2^3} + \frac{1}{R^3}\right)\right) y. $$

Perióda kmitov okolo rovnovážnej polohy $R_2$ je teda

$$ T_2 = \frac{2 \pi}{\sqrt{\frac{k}{m} - GM \left(\frac{2}{R_2^3} + \frac{1}{R^3}\right)}}, $$

čo po dosadení všetkých substitúcií je

$$ T_2 = \frac{2 \pi}{\sqrt{\frac{k}{m} - \frac{GM}{R^3} \left(1 + 16 \left(\frac{\frac{kR^3}{GMm} - 1}{1 + \sqrt{\frac{4kR^3}{GMm} - 3}}\right)^3\right)}}. $$