Riešenie problému rozdelíme na dve časti:

1. Keď voda vyjde z potrubia na vzduch:

Na čiastočky vody sa môžeme pozrieť ako na teleso, ktoré bude konať zvislý vrch nahor.

1. Keď je voda v potrubí:

Bude sa jednať o Bernouliho rovnicu.

1. Voda po výstupe z potrubia

Jedná sa o zvislý vrh nahor a môžeme si ľahko odvodiť, že najvyšší bod, do ktorého voda môže vyjsť je

$$H_{max}=\frac{v_0^2}{2g}\qquad(1)$$

kde $v_0$ je rýchlosť vody tesne po tom, čo opustí potrubie a $g$ je gravitačné zrýchlenie. Asi najrýchlejší spôsob je odvodenie pomocou zákona zachovania energie, ktorý hovorí, že súčet kinetickej a potenciálnej energie je konštantný. Ak si teda vyberieme nulovú výšku vo výške zemského povrchu, tak v tomto bode má čiastočka kvapky potenciálnu energiu nulovú a naopak v najvyššom bode má kvapka nulovú kinetickú energiu. Keďže tieto dve energie sa musia rovnať dostávame rovnicu pre $H_{max}$. Iný spôsob odvodenia. Čiže nám treba len zistiť rýchlosť $v_0$, ktorou voda opúšťa potrubie.

2. Voda v potrubí

V potrubí bude platiť Bernoulliho rovnica (v podstate zákon zachovania energie):

$$ p_{1} + \frac{1}{2}\rho v_{1}^{2}+ \rho g h_{1} = p_{2} + \frac{1}{2}\rho v_{2}^{2}+ \rho g h_{2} \qquad(2)$$

Hĺbku $h_{1}$, v ktorej je prvá časť potrubia zvolíme ako referenčnú hĺbku, a teda $h_{1}=0$. Tlak $p_{1}$ máme zadaný. Tlak v oblasti 2, čiže v oblasti, kde voda opúšťa potrubie, bude približne rovný atmosférickému tlaku. Hĺbka, resp. výška $h_{2}$ sa meria vzhľadom na hĺbku prvej časti potrubia (ktorú sme si zvolili $h_{1}=0$), a teda zo zadania $h_{2}=\SI{2}{\meter}$. Jediné neznáme ostávajú rýchlosti. Avšak vieme, že z nestlačiteľnosti kvapalín vyplýva rovnica kontinuity

$$ S_{1}v_{1}=S_{2}v_{2} $$

Hoci obsahy priamo nepoznáme, vieme aký je ich pomer, $S_1:S_2 = 3$, pretože veľkosť diery na povrchu ($S_2$) je tretinová oproti prierezu prívodného potrubia ($S_1$). Čiže pre rýchlosť $v_{2}$ platí

$$ v_{1}= \frac{S_{2}}{S_{1}}v_{2}$$

Tento výraz dosadíme do Bernoulliho rovnice (Rovnica 2) aj spolu s $h_{1}=0$ a zistíme, že máme rovnicu s jednou neznámou $v_{2}$, pre ktorú dostávame výraz:

$$v_{2}^{2} =\left( \left (p_{1}-p_{2} \right) -\rho g h_{2} \right) \frac{2}{\rho} \frac{1}{1-\left ( \frac{S_{2}}{S_{1}} \right )^{2}} \qquad(3)$$

Tiež si všimneme, že rýchlosť $v_{2}$ je rýchlosť $v_{0}$, ktorou voda opúšťa potrubie pri povrchu. Čiže už len dosadíme Rovnica 3 do Rovnica 1 a dostaneme výsledok. Po vyčíslení je $v_{2}^{2}=\SI[per-mode= reciprocal-positive-first]{540}{\meter\squared\per\second\squared}$ a po dosadení do Rovnica 1 vyjde $H_{max}=\SI{27}{\meter}$, kde sme použili $g=\SI{10}{\meter\per\second\squared}$.

Iný pohľad na problém

V predchádzajúcom riešení sme brali tlak $\SI{360}{\kilo\pascal}$ ako tlak prúdiacej kvapaliny po ustálení. Avšak iný pohľad by bol, že $\SI{360}{\kilo\pascal}$ je „pokojový tlak“. Tlak, ktorý je v potrubí, keď voda netečie.

Pôvodných $\SI{360}{\kilo\pascal}$ pozostávalo z tlaku vo vode a $\rho g h_{1}$. Keď sa hydrant odtrhne (ako keby otvoríme kohútik hydrantu), voda v potrubí sa začne hýbať v dôsledku čoho sa zníži tlak. Avšak pôvodná energia (áno, $\SI{360}{\kilo\pascal}$ predstavuje energiu) sa musí zachovať. Preto $$\SI{360}{\kilo\pascal}=p_{1} + \frac{1}{2}\rho v_{1}^{2}+ \rho g h_{1},$$ kde $p_{1}$ predstavuje nový tlak, keď sa už kvapalina hýbe s rýchlosťou $v_{1}$.

Použitím Bernoulliho rovnice (Rovnica 2) dostávame $$\SI{360}{\kilo\pascal} =p_{1} + \frac{1}{2}\rho v_{1}^{2}+ \rho g h_{1}= p_{2}+ \frac{1}{2}\rho v_{2}^{2}+ \rho g h_{2},$$ čiže $$ \SI{360}{\kilo\pascal}= p_{2}+ \frac{1}{2}\rho v_{2}^{2}+ \rho g h_{2},$$ kde $p_{2}$ je atmosférický tlak, $h_{2}=\SI{2}{\meter}$ a jedinou neznámou ostáva rýchlosť $v_{2}$, ktorú potom vložíme do Rovnica 1 a dostaneme hľadaný výsledok.

Koment 1: Ak by si chcel(a) lepšie porozumieť Bernouliho rovnici a čo sa vlastne deje, odporúčam tento odkaz na sekciu v Khan Academy. Je tam veľmi podobný príklad. Koment 2: Uznávali sme obe riešenia.