Kométa má hmotnosť $m$ a hviezda $M$. Keby sme vedeli s istotou povedať, že $m \ll M$, táto úloha by sa stala omnoho jednoduchšou. Toto ale nemusí platiť. Preto sa aj hviezda bude nejako hýbať.

Aby sme mali nejaký bod, ktorý sa nehýbe, a mohli určovať súradnice vzhľadom naň, presuňme sa do sústavy spojenej s ťažiskom. Keď označíme $\vec{x_k}$ a $\vec{x_h}$ polohové vektory kométy a hviezdy v ťažiskovej sústave, dostávame vzťah $$ m \vec{x_k} + M \vec{x_h} = 0. \qquad(1)$$

Zároveň môžeme pre túto situáciu popísať rôzne zákony zachovania. Označme $\vec{v_k}$ a $\vec{v_h}$ vektory okamžitých rýchlostí kométy a hviezdy. Zo zákonu zachovania hybnosti máme vzťah: $$ m \vec{v_k} + M \vec{v_h} = 0. \qquad(2)$$

Zo zákonu zachovania momentu hybnosti zase máme: $$ m \vec{x_k} \times \vec{v_k} + M \vec{x_h} \times \vec{v_h} = \vec{L}. \qquad(3)$$

Napokon zo zákonu zachovania energie máme $$ \frac{1}{2} m \left|\vec{v_k}\right|^2 + \frac{1}{2} M \left|\vec{v_h}\right|^2 - \frac{GmM}{\left|\vec{x_k} - \vec{x_h}\right|} = E. \qquad(4)$$

Konštanty $|\vec{L}|$ a $E$ vieme dopočítať z informácií o tom, ako vyzerá situácia v najvzdialenejšom bode orbity kométy a prvých dvoch rovníc. V tom prípade dostaneme ďalšie dve rovnice: $$ \left|\vec{x_{k_0}} - \vec{x_{h_0}}\right| = R, \qquad(5)$$ $$ \left|\vec{v_{k_0}}\right| = v. \qquad(6)$$

Použitím rovnice 2 v rovnici 3 dostávame $$ \vec{L} = m \vec{x_{k_0}}\times \vec{v_{k_0}} + M \vec{x_{h_0}} \times \vec{v_{h_0}} = m \vec{x_{k_0}} \times \vec{v_{k_0}} - m \vec{x_{h_0}} \times \vec{v_{k_0}} = m \left(\vec{x_{k_0}} - \vec{x_{h_0}}\right) \times \vec{v_{k_0}}. $$

Vektor $\vec{x_{k_0}} - \vec{x_{h_0}}$ je kolmý na vektor $\vec{v_{k_0}}$. Vďaka 5 a 6 pre veľkosť celkového momentu hybnosti platí $$ \left|\vec{L}\right| = m \left|\vec{x_{k_0}} - \vec{x_{h_0}}\right| \left|\vec{v_{k_0}}\right| = m R v. \qquad(7)$$ Podobne postupujme pre energiu. Najprv do 4 dosaďme 5: $$ E = \frac{1}{2} m \left|\vec{v_{k_0}}\right|^2 + \frac{1}{2} M \left|\vec{v_{h_0}}\right|^2 - \frac{GmM}{R}. $$

Ďalej do tohto vzťahu dosaďme 2: $$ E = \frac{1}{2} m \left|\vec{v_{k_0}}\right|^2 + \frac{1}{2} \frac{m^2}{M} \left|\vec{v_{k_0}}\right|^2 - \frac{GmM}{R} = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{m}{M}\right) m \left|\vec{v_{k_0}}\right|^2 - \frac{GmM}{R}. $$

Napokon použitím 6 máme: $$ E = \frac{1}{2}\left(1 + \frac{m}{M}\right) m v^2 - \frac{GmM}{R}. \qquad(8)$$

Máme teda štyri vektorové rovnice so štyrmi neznámymi vektormi $\vec{x_k}$, $\vec{x_h}$, $\vec{v_k}$, $\vec{v_h}$. Keďže vektory, ktoré používame, sú trojrozmerné¹, v skutočnosti máme $10$ rovníc s $12$ neznámymi². Potrebujeme ešte do nich ponahadzovať predpoklady tak, aby sme dostali toľko rovníc, koľko neznámych.

Prvý predpoklad, ktorý použijeme, je, že si uvedomíme, že celá situácia sa odohráva v rovine. Takže môžeme nastaviť tretiu zložku každého z vektorov $\vec{x_k}$, $\vec{x_h}$, $\vec{v_k}$, $\vec{v_h}$ nulovú. Týmto sme sa dostali k tomu, že máme $7$ rovníc s $8$ neznámymi – stále to je málo.

Do druhého predpokladu zabalíme to, kedy očakávame, že budú k sebe kométa a hviezda najbližšie. Keď bola kométa v najvzdialenejšom bode, vektory $\vec{v_{k_0}}$ a $\vec{x_{k_0}} - \vec{x_{h_0}}$ boli navzájom kolmé. Nič nám teda nebráni zaviesť súradnicový systém tak, aby bol vektor $\vec{x_{k_0}} - \vec{x_{h_0}}$ v smere osi $x$ a vektor $\vec{v_{k_0}}$ v smere osi $y$. Potom sú vektory $\vec{v_{k_0}}$ a $\vec{v_{h_0}}$ rovnobežné s osou $y$ a keďže ťažisko máme v strede súradnicovej sústavy, vektory $\vec{x_{k_0}}$ a $\vec{x_{h_0}}$ sú rovnobežné s osou $x$.

V prípade, keď bude kométa najbližšie, očakávame, že budú mať všetky tieto štyri vektory opačnú orientáciu, ako keď bola kométa najďalej³. Súradnice vektorov v bode, kde nastane minimum vzdialenosti, zapíšme v tvare $$ \begin{aligned} \vec{x_k} &= \left(x_k, 0, 0\right), \qquad \vec{x_h} &= \left(x_h, 0, 0\right), \ \vec{v_k} &= \left(0, v_k, 0\right), \qquad \vec{v_h} &= \left(0, v_h, 0\right). \end{aligned} $$

Ešte predtým, ako sa pohneme ďalej, si uvedomme, že takýmto spôsobom vieme zapísať vektory v práve $2$ bodoch – ten, kde je vzdialenosť kométy a hviezdy najmenšia, a ten, kde je najväčšia. Toto pozorovanie sa nám ešte zíde.

Keď využijeme tieto štyri zápisy vektorov, naše štyri rovnice sa nám zjednodušia na tvar $$ mx_k + Mx_h = 0, \qquad(9)$$ $$ mv_k + Mv_h = 0, \qquad(10)$$ $$ mx_kv_k + Mx_hv_h = L, \qquad(11)$$ $$ \frac{1}{2} m v_k^2 + \frac{1}{2} M v_h^2 - \frac{GmM}{\left|x_k - x_h\right|} = E. \qquad(12)$$

Toto sú už naozaj len štyri rovnice so štyrmi neznámymi, ako sme potrebovali. Teraz ich už len vyriešiť.

Bez ujmy na všeobecnosti si povedzme, že $x_k > 0$. Z 9 potom máme, že $x_h < 0$. Preto $x_k - x_h > 0$, a tak sa môžeme zbaviť absolútnej hodnoty v 12.

Povedzme, že sa pokúsime vyjadriť $x_k$. Vyjadrime $x_h$ z 9 a $v_h$ z 10 a dosaďme ich do 11 a 12: $$ \begin{aligned} x_h &= -\frac{m}{M} x_k, \ v_h &= -\frac{m}{M} v_k, \ L &= m x_k v_k + \frac{m^2}{M} x_k v_k, \ E &= \frac{1}{2} m v_k^2 + \frac{1}{2} \frac{m^2}{M} v_k^2 - \frac{GmM}{x_k+\frac{m}{M}x_k}. \end{aligned} $$

Po uprataní $$ \begin{aligned} m \left(1 + \frac{m}{M}\right) x_k v_k &= L, \ \frac{1}{2} m \left(1 + \frac{m}{M}\right) v_k^2 - \frac{GmM}{x_k \left(1 + \frac{m}{M}\right)} &= E. \end{aligned} $$

Vyjadrime z prvej z rovníc $v_k$ a dosaďme ho do druhej: $$ \begin{aligned} v_k &= \frac{L}{m \left(1 + \frac{m}{M}\right) x_k}, \ \frac{1}{2} m \left(1 + \frac{m}{M}\right) \left(\frac{L}{m \left(1 + \frac{m}{M}\right) x_k}\right)^2 - \frac{GmM}{x_k \left(1 + \frac{m}{M}\right)} &= E. \end{aligned} $$

Upracme túto rovnicu, zbavme sa škaredých menovateľov a upravme na kvadratickú rovnicu: $$ \begin{aligned} \frac{1}{2} \frac{L^2}{m \left(1 + \frac{m}{M}\right) x_k^2} - \frac{GmM}{x_k \left(1 + \frac{m}{M}\right)} &= E, \ \frac{L^2}{2} - Gm^2Mx_k &= E m \left(1 + \frac{m}{M}\right) x_k^2, \ E m \left(1 + \frac{m}{M}\right) x_k^2 + G m^2 M x_k - \frac{L^2}{2} &= 0. \end{aligned} \qquad(13)$$

Skôr ako prejdeme k riešeniu tejto kvadratickej rovnice, tak si uvedomme, že my poznáme jedno jej riešenie – ním je riešenie, kedy bude kométa v najvzdialenejšom bode. Táto rovnica síce vyzerá škaredo, ale má nejaké pekné riešenie. Z toho vyplýva, že aj druhé riešenie nebude až tak škaredé, resp. že diskriminant budeme vedieť odmocniť⁴.

Nájdime najprv diskriminant 9: $$ D = G^2m^4M^2 + 2 E m \left(1 + \frac{m}{M}\right) L^2. $$

Nadišiel čas na dosadenie $E$ a $L$ z 8 a 7: $$ \begin{aligned} D &= G^2m^4M^2 + 2 \left(\frac{1}{2}\left(1 + \frac{m}{M}\right) m v^2 - \frac{GmM}{R}\right) m \left(1 + \frac{m}{M}\right) m^2 R^2 v^2 \ &= m^4 \left[G^2M^2 + 2 \left(\frac{1}{2}\left(1 + \frac{m}{M}\right) v^2 - \frac{GM}{R}\right) \left(1 + \frac{m}{M}\right) R^2 v^2 \right] \ &= m^4 \left[G^2M^2 + \left(\left(1 + \frac{m}{M}\right) v^2 - 2\frac{GM}{R}\right) \left(1 + \frac{m}{M}\right) R^2 v^2 \right] \ &= m^4 \left[G^2M^2 + \left(\left(1 + \frac{m}{M}\right) R^2 v^4 - 2GMRv^2\right) \left(1 + \frac{m}{M}\right) \right] \ &= m^4 \left[G^2M^2 - 2GMRv^2\left(1 + \frac{m}{M}\right) + R^2 v^4 \left(1 + \frac{m}{M}\right)^2 \right] \ &= m^4 \left[GM - R v^2 \left(1 + \frac{m}{M}\right)\right]^2. \end{aligned} $$

Diskriminant skutočne vyšiel dostatočne pekný, a teda ho môžeme jednoducho odmocniť. Pre riešenia 13 preto platí $$ \begin{aligned} x_{k_{1, 2}} &= \frac{ -G m^2 M \pm m^2\left(GM - R v^2 \left(1 + \frac{m}{M}\right)\right)% }{% 2 \left(\frac{1}{2}\left(1 + \frac{m}{M}\right)m v^2 - \frac{GmM}{R}\right) m \left(1 + \frac{m}{M}\right) }, \ x_{k_{1, 2}} &= \frac{ -\frac{GM}{R} \pm \left(\frac{GM}{R} - v^2 \left(1 + \frac{m}{M}\right)\right) }{ \left(\left(1 + \frac{m}{M}\right)v^2 - 2\frac{GM}{R}\right) \left(1 + \frac{m}{M}\right) } R. \ \end{aligned} $$

Keď si vyberieme znamienko mínus, dostávame riešenie $$ \begin{aligned} x_{k_{1}} &= \frac{ -2\frac{GM}{R} + v^2 \left(1 + \frac{m}{M}\right) }{ \left(\left(1 + \frac{m}{M}\right)v^2 - 2\frac{GM}{R}\right) \left(1 + \frac{m}{M}\right) } R, \ x_{k_{1}} &= \frac{1}{\left(1 + \frac{m}{M}\right)}R = \frac{M}{m+M}R. \ \end{aligned} $$

Toto je presne riešenie, ktoré je v najvzdialenejšom bode pohybu kométy. Očakávali sme, že ho dostaneme, takže toto nám potvrdzuje, že sme (pravdepodobne) nespravili chybu vo výpočte.

Keď si vyberieme znamienko plus, dostávame riešenie $$ \begin{aligned} x_{k_{2}} &= \frac{ -v^2 \left(1 + \frac{m}{M}\right) }{ \left(\left(1 + \frac{m}{M}\right) v^2 - 2\frac{GM}{R}\right) \left(1 + \frac{m}{M}\right) } R, \ x_{k_{2}} &= \frac{v^2}{2\frac{GM}{R} - \left(1 + \frac{m}{M}\right) v^2}R. \end{aligned} $$

Z 9 vieme dopočítať aj $x_{h_2}$: $$ x_{h_{2}} = \frac{-\frac{m}{M}v^2}{2\frac{GM}{R} - \left(1 + \frac{m}{M}\right) v^2}R. $$

V najbližšom bode sú tak kométa a hviezda vzdialené $$ x_{k_{2}} - x_{h_{2}} = \frac{\left(1 + \frac{m}{M}\right)v^2}{2\frac{GM}{R} - \left(1 + \frac{m}{M}\right) v^2}R. $$

Ešte by sa patrilo overiť, že táto vzdialenosť je najviac $R$. To nastane vtedy, keď $$ \begin{aligned} \frac{\left(1 + \frac{m}{M}\right) v^2}{2\frac{GM}{R} - \left(1 + \frac{m}{M}\right) v^2}R &\leq R, \ \left(1 + \frac{m}{M}\right) v^2 &\leq \frac{GM}{R}, \ v &\leq \sqrt{\frac{GM^2}{R \left(m + M\right)}}. \end{aligned} $$

V tejto nerovnosti nastane rovnosť vtedy, keď bude rýchlosť taká, že kométa bude obiehať po kružnici. Pre vyššie rýchlosti bude kométa „na opačnej strane hviezdy“ ďalej od hviezdy ako $R$, resp. pre nižšie rýchlosti bližšie ako $R$. Zadanie ale tvrdí, že rýchlosť $v$ bola v najvzdialenejšom bode, a tak je táto podmienka splnená⁵. Takže môžeme s čistým svedomím prehlásiť, že kométa sa dostane k hviezde najbližšie do vzdialenosti $$ x_{k_{2}} - x_{h_{2}} = \frac{\left(1 + \frac{m}{M}\right)v^2}{2\frac{GM}{R} - \left(1 + \frac{m}{M}\right)v^2}R. $$