Ako to pri úlohách podobného typu chodí, na úvod si zostavíme rovnice pre sily a momenty síl. Treba si však dobre uvedomiť aké sily pôsobia a hlavne ktorým smerom.

Vo vertikálnom smere nám pôsobí trecia sila $T_2$ od steny s pôsobiskom v bode dotyku a smerom, ktorý spomaľuje valec, teda smerom „hore“. Tiažová sila $F_g$, ktorej pôsobisko bude v ťažisku valca so smerom „dole“ a nakoniec normálová sila $N_1$ od podlahy s pôsobiskom v bode dotyku s podlahou a smerom hore.

V horizontálnom smere nám pôsobí normálová sila $N_2$ od steny, s pôsobiskom v bode dotyku a so smerom „doprava“. Trecia sila $T_1$ od podlahy s pôsobiskom v bode dotyku a smerom ktorý spomaľuje valec, teda „doľava“.

Obrázok 1: Sily dokreslené do obrázku zo zadania.

V poslednom kroku pred zostavením rovníc je dôležité si uvedomiť, ktoré sily budú mať vzhľadom na os rotácie valca moment. Sily $F_g$, $N_1$, $N_2$ nemajú vzhľadom na os moment, takže v našej momentovej rovnici sa budú nachádzať jedine sily $T_1$ a $T_2$. Rovnako vieme, že rotácia valca sa postupne spomaľuje, preto je jeho moment $I \epsilon$, kde $I$ je moment zotrvačnosti a $\epsilon$ uhlové zrýchlenie, resp. spomalenie.

Zostavme si teda rovnice: $$ \begin{aligned} T_2+N_1 &= F_g, \ T_1 &= N_2, \ I\epsilon &= -R \cdot \left(T_1 + T_2\right). \ \end{aligned} $$

Vieme, že pre treciu silu platí $T = f_N$, tiažová sila je $F_g = mg$ a vzťah pre moment zotrvačnosti valca je $I = \frac{1}{2}mR^2$. Preto naše rovnice napíšeme ako $$ \begin{aligned} fN_2+N_1 &= mg, \ fN_1 &= N_2 \ \frac{1}{2}mR^2\epsilon &= -Rf \cdot \left(N_1 + N_2\right). \ \end{aligned} $$

Z druhej rovnice dosadíme $N_2$ do prvej a vyjadríme si $N_1$, $$ f^2 N_1 + N_1 = mg \quad\Rightarrow\quad N_1 = \frac{mg}{1 + f^2} \quad\Rightarrow\quad N_2 = \frac{fmg}{1 + f^2}. $$

Zistené $N_1$ a $N_2$ dosadíme do momentovej rovnice, no predtým v nej vykrátime jedno $R$: $$ \begin{aligned} \frac{1}{2}mR\epsilon &= -f \cdot \left(\frac{mg}{1 + f^2} + \frac{fmg}{1 + f^2}\right), \ \epsilon &= -\frac{2fg}{R} \cdot \frac{1 + f}{1 + f^2}. \ \end{aligned} $$

Môžeme si všimnúť, že nám vyšlo uhlové zrýchlenie záporné, a teda sa jedná o spomalenie. Taktiež vidíme, že sme si ho vyjadrili cez všetky zadané parametre. Na to, aby sme zisitli počet otočiek, po ktorých valec zastane, potrebujeme si vyjadriť uhlovú rýchlosť v závislosti od času. Pre čas po ktorom valec zastane platí, že v ňom je rýchlosť nula, a preto $$ \Omega(t) = \omega_0-\left|\epsilon\right|t = 0 \quad\Rightarrow\quad t = \frac{\omega_0}{\left|\epsilon\right|}- $$

Pre uhol, o ktorý sa valec otočí, platí $$ \phi(t) = \omega_0 t - \frac{1}{2}\left|\epsilon\right|t^2 = \frac{\omega_0^2}{\left|\epsilon\right|} - \frac{1}{2}\left|\epsilon\right|\frac{\omega_0^2}{\left|\epsilon\right|^2} = \frac{1}{2}\frac{\omega_0^2}{\left|\epsilon\right|} $$

A teraz už máme vyhraté, pretože počet otočiek je vlastne iba opísaný uhol predelený uhlom jednej otáčky, čo je $2\pi$: $$ N = \frac{\phi}{2\pi} = \frac{\omega_0^2}{4\pi\left|\epsilon\right|} = \frac{R\omega_0^2}{8fg\pi}\cdot\frac{1+f^2}{1+f}. $$

Počet otočiek, po ktorých valec zastane, je $N = \frac{R\omega_0^2}{8fg\pi} \cdot \frac{1 + f^2}{1 + f}$.