Uvažujme vodivú dosku s plochou $S$ nabitú nábojom $Q$. Takáto doska okolo seba vytvára homogénne elektrické pole veľkosti $E=\frac{Q}{2\epsilon_{0}S}$.¹ Nás bude zaujímať, aké pole vzniká vo vnútri kondenzátora. Na to využijeme princíp superpozície, a teda že výsledné pole od dosiek kondenzátora a vloženej dosky je rovné súčtu polí od jednotlivých dosiek. Zároveň si uľahčíme prácu tým, že budeme rovno riešiť podúlohu b) a riešenie podúlohy a) dostaneme zadarmo položením $U=0$. Tak teda poďme na to!

* Intenzity a napätia v kondenzátore *

V dôsledku prítomnosti zdroja a nabitej vodivej platne vo vnútri kondenzátora sa nabijú dosky kondenzátora. Vzhľadom na to, že obvod je uzavretý, musí byť súčet náboja na hornej a dolnej doske kondenzátora nulový. Nech je na hornej doske náboj $+q$, potom na dolnej doske musí byť náboj $-q$.

Zvoľme si za kladný smer intenzity smer nahor. Vieme, že intenzita má smer od kladného náboja k zápornému. Nech je v kondenzátore nad vloženou platňou intenzita $E_{1}$ a pod ňou intenzita $E_{2}$. Príspevok k intenzite $E_{1}$ od hornej dosky kondenzátora je $-\frac{q}{2\epsilon_{0}S}$, od vloženej platne $+\frac{Q}{2\epsilon_{0}S}$ a od dolnej dosky kondenzátora $-\frac{q}{2\epsilon_{0}S}$. Výsledná intenzita je teda $E_{1}=\frac{Q-2q}{2\epsilon_{0}S}$. Analogicky jednotlivé príspevky k intenzite $E_{2}$ sú postupne $-\frac{q}{2\epsilon_{0}S}$, $-\frac{Q}{2\epsilon_{0}S}$ a $-\frac{q}{2\epsilon_{0}S}$ a výsledná intenzita je $E_{2}=-\frac{Q+2q}{2\epsilon_{0}S}$.

Napätie medzi dvomi bodmi v homogénnom elektrickom poli $E$ je $V=El,$kde $l$ je vzdialenosť týchto dvoch bodov v smere intenzity. V našom prípade máme na začiatku medzi hornou doskou kondenzátora a vloženou platňou napätie $U_{1}=E_{1}\frac{d}{3}=\frac{d\left(Q-2q\right)}{6\epsilon_{0}S}$ a medzi vloženou platňou a dolnou doskou kondenzátora napätie $U_{2}=E_{2}\frac{2}{3}d=-\frac{d\left(Q+2q\right)}{3\epsilon_{0}S}$. Zároveň podľa druhého Kirchhoffovho zákona má platiť $U_{1}+U_{2}=U$. Tým pádom možno ľahko dopočítať, že $q=-\left(\frac{Q}{6}+\frac{\epsilon_{0}SU}{d}\right)$.

Keď presunieme platňu vo vnútri kondenzátora, nejaký náboj pretečie medzi doskami kondenzátora. Označme si nové náboje na doskách kondenzátora $+q^{\prime}$ a $-q^{\prime}$. Nové intenzity sú potom $E_{1}^{\prime}=\frac{Q-2q^{\prime}}{2\epsilon_{0}S}$ a $E_{2}^{\prime}=-\frac{Q+2q^{\prime}}{2\epsilon_{0}S}$ a nové napätia $U_{1}^{\prime}=E_{1}^{\prime}\frac{2}{3}d=\frac{d\left(Q-2q^{\prime}\right)}{3\epsilon_{0}S}$ a $U_{2}^{\prime}=E_{2}^{\prime}\frac{d}{3}=-\frac{d\left(Q+2q\right)}{6\epsilon_{0}S}$. Stále musí platiť druhý Kirchhoffov zákon $U_{1}^{\prime}+U_{2}^{\prime}=U$, teda môžeme dopočítať, že $q^{\prime}=\frac{Q}{6}-\frac{\epsilon_{0}SU}{d}$.

Náboj, ktorý pri presúvaní nabitej platne pritiekol z dolnej dosky kondenzátora na hornú, je rovný rozdielu náboja po presúvaní a náboja pred presúvaním, teda $\delta q=q^{\prime}-q=\frac{Q}{3}$. Výsledok nezávisí od napätia $U$, preto je toto výsledok oboch podúloh.