Adam vidí niečo takéto:

* Adam vidí *

Na začiatok si na zjednodušenie rátania musíme uvedomiť jednu vec – keď o svetlách vieme, že sa k sebe navzájom približujú rýchlosťou $u$ a že v očiach pozorovateľa (Adama) sa pohybujú rovnako rýchlo, je to to isté, akoby sa obe svetielka pohybovali v očiach pozorovateľa rýchlosťou $\frac{u}{2}$.

Na čo nám je to dobré? Teraz, keď túto “skutočnú” rýchlosť pohybu svetielka máme vyjadrenú, môžeme sa sústrediť na vyjadrenie rýchlosti $v$. Vieme, že čas, za ktorý prejdú zdanlivo svetielka dráhu $x$, musia skutočné svetielka na električke prejsť dráhu $s$. Čiže platí $$ \begin{aligned} t &= \frac{s}{v} = \frac{x}{\frac{u}{2}}, \ v &= \frac{u}{2}\frac{s}{x}. \end{aligned} $$

Chceme si teda nejak elegantne vyjadriť neznáme $s$ a $x$ pomocou nám zadaných parametrov. Pre zjednodušenie vlastnej existencie si obrázok vyššie vieme orezať na polovicu podľa osi symetrie a po dopísaní všetkých známych údajov sa pozeráme na niečo takéto:

* Adam sa pozerá *

Na začiatok si zadefinujme nejaké pomocné $y$, ktoré nám vyjadruje skutočnú vzdialenosť električky od Adama. Vďaka podobnosti trojuholníkov (ďalej už len PT, tých podobných trojuholníkov je tu viac ako smogu v Číne) $\bigtriangleup AHB$ a $\bigtriangleup AGD$ vieme napísať $$ \frac{y}{\frac{d}{2}} = \frac{L}{\frac{D}{2}} \quad\Rightarrow\quad y = L\frac{d}{D}. $$

Pozrime sa teraz na ďalšiu vhodnú dvojicu PT: $\bigtriangleup AFC$ a $\bigtriangleup EGA$. Potom znova musia platiť pomery $$ \frac{\left|CF\right|}{\left|AF\right|} = \frac{\left|AG\right|}{\left|EG\right|}. $$

Vyjadríme dĺžky strán: $$ \frac{\frac{D}{2}-x}{L}=\frac{\frac{d}{2}}{s+y} $$

Keby sme si do obrázka dokreslili nejaké pomocné uhly, pekne by bolo vidieť ďalšiu dvojicu PT, a to $\bigtriangleup ADE$ a $\bigtriangleup ACB$. Pomer príslušných strán musí byť zachovaný, preto možno písať $$ \frac{\left|ED\right|}{\left|BC\right|} = \frac{\left|AD\right|}{\left|AC\right|}, $$

a teda $$ \frac{s}{x} = \frac{\sqrt{\left(\frac{d}{2}\right)^2 + y^2}}{\sqrt{L^2+\left(\frac{D}{2}-x\right)^2}}. $$

A zrazu tu máme nie veľmi oslnivú sústavu dvoch rovníc o dvoch neznámych. ktorú keď vyriešime, dostaneme $$ \begin{aligned} s &= d\left(\frac{D}{4L}-\frac{L}{D}\right), \ x &= \frac{D}{2} - \frac{2L^2}{D}. \end{aligned} $$

Po dosadení do prvej rovnice dostávame vzťah pre rýchlosť električky: $$ \begin{aligned} v &= \frac{u}{2}\cdot\frac{d\left(\frac{D}{4L}-\frac{L}{D}\right)}{\frac{D}{2} - \frac{2L^2}{D}} \ &= \frac{ud\left(\frac{D}{4L}-\frac{L}{D}\right)}{D-\frac{4L^2}{D}}. \end{aligned} $$