Keď už Špagetka toľko vymýšľa, našou úlohou je zistiť, kde máme klinček pod obruč pribiť tak, aby bola obruč stabilizovaná a klinček čo najmenej zaťažený. Vyznačme si teda s nadšením na obrázku sily pôsobiace na obruč a na klinček:

* Situácia so zakreslenými silami *

Na určenie optimálnej polohy klinčeka budeme hľadať nejaký uhol $\alpha$, ktorý bude klinček zvierať s vodorovnou osou obruče prechádzajúcej jej osou otáčania. Ako vidíme z obrázka, jediná sila pôsobiaca na klinček je normálová sila $F_N$ (ktorou taktiež klinček pôsobí na obruč, len v opačnom smere).

Aby bola obruč s polomerom $R$ zaistená, musí byť výsledný moment sily okolo jej osi otáčania nulový. Vektor normálovej sily vyvolanej klinčekom vtedy bude smerovať do stredu obruče. Teda to bude vyzerať takto:

$$ M_1 + M_2 = 0\text{,} $$ kde $$ \begin{aligned} M_1 &= F_g\cdot R\text{,}\ M_2 &= F_N\cdot r\text{.}\ \end{aligned} $$

Treba nám určiť rameno sily $r$. Z obrázka vidíme, že trojuholník $OTK$ je rovnoramenný, uhol $\measuredangle OTK = \ang{180} - 2\alpha$, a z toho vyplýva, že uhol $\measuredangle OTP = 2\alpha$.

Načo nám to je? Skvelá otázka. Vďaka tejto informácii už vieme pomocou goniometrických funkcií vyrátať rameno sily $r$ veľmi jednoducho, $$ \sin\left(2\alpha\right) = \frac{r}{R}\text{,} $$

a odtiaľ $$ r = R\sin\left(2\alpha\right)\text{.} $$

Vidíme, že tiažová sila a normálová sila pôsobiaca na obruč otáčajú obruč v opačných smeroch, preto by sa patrilo dať jednému z momentov opačné znamienko. Dostávame $$ \begin{aligned} M_1 &= M_2\text{,} \ mg &= F_N\sin\left(2\alpha\right)\text{,} \ F_N &= \frac{mg}{\sin\left(2\alpha\right)}\text{.} \end{aligned} $$

Pripomeňme si, že chceme, aby bola sila $F_N$ čo najmenšia. Hľadáme teda uhol, pri ktorom bude menovateľ nadobúdať čo najväčšiu hodnotu. Maximálna možná hodnota sínusu je $1$ (alebo $-1$), preto možno napísať $$ \begin{aligned} \sin\left(2\alpha_1\right) &= 1 &\Rightarrow \alpha_1 &= \frac{\pi}{2} + 2\pi k &\Rightarrow \alpha_1 &= \frac{\pi}{4} + \pi k\text{,} \ \sin\left(2\alpha_2\right) &= -1 &\Rightarrow 2\alpha_2 &= \frac{3\pi}{2} + 2\pi k &\Rightarrow \alpha_2 &= \frac{3\pi}{4} + \pi k\text{.} \end{aligned} $$

Nás zaujímajú len hodnoty uhlov v intervale $\left<-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right>$ (kde sa nachádza obruč), ktoré sú $\frac{\pi}{4} = \ang{45}$ a $\frac{-\pi}{4} = \ang{-45}$.

Riešenie úlohy je teda nasledovné: klinček bude namáhaný najmenšou možnou silou práve vtedy, ak ho pribijeme pod obruč pod ťažiskom alebo nad ťažiskom obruče. Tak sa bude obruč bezpečne nehýbať a pomaly zapadať prachom.