V prvom rade sa treba zamyslieť, aké informácie nám ponúka zadanie. Vieme, že Francisova fľaša je dokonale tuhá, a teda sa objem jej obsahu nemôže zmeniť. Kvapaliny sú v ideálnom svete fyzikálnych úloh tiež nestlačiteľné, čo znamená že objem sirupu sa tiež nemôže zmeniť. Z toho vyplýva, že ani objem vzduchu sa nemôže zmeniť. Počiatočné dve bublinky majú spolu rovnaký objem ako bublinka, ktorá vznikla ich spojením. V reči rovníc $$ 2 V_1 = V_2, $$ $$ 2 \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3. $$ Polomer novej bublinky bude teda $R=\sqrt[3]{2}r$.

Vzduch v bublinkách sa správa ako ideálny plyn a jeho správanie sa dá popísať stavovou rovnicou. Pre jednu malú bublinku platí $p_1 V_1=n_1RT_1$ a pre veľkú bublinku po spojení zas $p_2 V_2=n_2RT_2$. Zo zadania vieme, že počas spojenia dvoch bubliniek sa teplota nemení a teda $T_1=T_2=T$. Tiež sme zistili, že $V_2=2V_1$. To, že množstvo vzduchu vo veľkej bublinke je dvakrát také ako v malej možno zapísať ako $n_2=2n_1$. Naše dve stavové rovnice potom môžeme prepísať: $$ \begin{aligned} \frac{p_1V_1}{n_1}=\frac{p_2V_2}{n_2} &= RT,\ \frac{p_1V_1}{n_1}=\frac{p_2 2V_1}{2n_1} &= RT. \end{aligned} $$

Z toho vychádza, že $p_1 = p_2$. K tomuto zisteniu sa dalo prísť aj úvahou, že pre vzduch z jednej malej bublinky sa počas spojenia nezmenil ani objem, ani teplota, a teda sa nemohol zmeniť ani tlak. Veľa z vás tvrdilo, že ak tlak v jednej malej bublinke je $p$ tak v dvoch to bude $2p$. Toto je ale nesprávne! Tlak je stavová veličina a to znamená, že ak mám dve rovnaké bublinky so vzduchom v rovnakom stave, tak budú mať rovnaký tlak.

Ako to funguje s tlakom pri bublinkách? Tlak v bublinkách je väčší ako tlak, ktorý na bublinku tlačí zvonka. Je to preto, lebo vrstva kvapaliny drží spolu medzimolekulovými silami a bráni vzduchu vnútri bublinky sa ďalej rozpínať. ¹. Túto schopnosť kvapalín popisuje práve povrchové napätie $\sigma$. Rozdiel medzi vnútorným a vonkajším tlakom pri bublinke plynu v kvapaline popisuje rovnica: $$ p_{\mathrm{in}}-p_{\mathrm{out}}=\frac{2\sigma}{r}, $$ kde $p_{\mathrm{in}}$ je tlak v bublinke a $p_{\mathrm{out}}$ je tlak zvonku bublinky, čo je v tomto prípade tlak v sirupe, kedže práve ten bublinku obklopuje. Viacero z vás tam malo miesto dvojky štvorku, čo ale platí pre bublinky, kde sú dve rozhrania, ako napríklad bublifuková bublina².

Napíšme si túto rovnicu pre situáciu pred a po spojení. Zistili sme, že $p_1=p_2=p_{in}$ a že $R=\sqrt[3]{2}r$. Situácia pred spojením je teda $$ p_{\mathrm{in}}-p_{\mathrm{out1}}=\frac{2\sigma}{r} $$ a po spojení $$ p_{\mathrm{in}}-p_{\mathrm{out2}}=\frac{2\sigma}{\sqrt[3]{2}r}. $$

Nás zaujíma ako sa zmenil tlak v sirupe po spojení bubliniek a teda nový tlak mínus starý tlak $\Delta p = p_{out2}-p_{out1}$. Tieto tlaky možno vyjadriť z predchádzajúcich rovníc a odčítať $$ \Delta p = p_{\mathrm{out2}}-p_{\mathrm{out1}} = p_{\mathrm{in}} - \frac{2\sigma}{\sqrt[3]{2}r} - \left(p_{\mathrm{in}}-\frac{2\sigma}{r}\right) $$

Po krátkych úpravách prídeme k výsledku a tešíme sa :) $$ \Delta p =\frac{2\sigma}{r}-\frac{2\sigma}{\sqrt[3]{2}r}=\frac{2\sigma}{r}\left(1-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right)\approx \num{0.413} \frac{\sigma}{r} $$ Tlak v sirupe sa teda zvýšil o túto hodnotu.