1. Stĺp záchranca
Zadanie
Adam, vyzbrojený svojim ostrovtipom, sa rád prechádza po širokých bratislavských uliciach. Keď ho pri jednej z jeho prechádzok zbadá Jaro, ktorý je často živým terčom jeho vtipov, rozhodne sa pred Adamom radšej schovať. Jediné, čo mu v rýchlosti napadne, je skryť sa za stĺp, ktorý sa nachádza medzi ním a Adamom. Adam sa pohybuje po priamke v kolmej vzdialenosti $D$ od stĺpa rýchlosťou $u$. Ako rýchlo sa má pohybovať Jaro po priamke vzdialenej od lampy $d$, rovnobežnej so smerom Adamovho pohybu, ak nechce byť spozorovaný?
Na začiatok si vyjadrime Adamíkovu rýchlosť $u$ a Jarovu rýchlosť $v$: $$ \begin{aligned} u &= \frac{S}{t},\ v &= \frac{s}{t},\ \end{aligned} $$ pričom $t$ je nejaký čas, ktorý budú mať oba tvory stále rovnaký. Po vyjadrení $t$ z oboch rovníc zistíme, že hľadaný čas $v$ bude vyzerať takto: $$ v = \frac{s}{S}u. $$
Nakreslime si teraz, ako to vyzerá, keď sa Jaro $J$ skrýva za stĺpom $T$ pred Adamíkom $A$.
Z obrázka vidíme, že aby Jara $J$ nebolo za stĺpom vidno, musia ležať body $J$, $T$ a $A$ na jednej priamke. To nám úplne vyhovuje, pretože v tom prípade musia byť uhly $\measuredangle ATX$ a $\measuredangle JTY$ stále rovnaké. Z podobnosti trojuholníkov nám potom vyplýva, že $$ \frac{S}{D} = \frac{s}{d} $$ a teda $$ \frac{s}{S} = \frac{d}{D}. $$
Po dosadení do prvej rovnice potom vidíme, že chudák Jaro bude musieť udržiavať konštantnú rýchlosť $$ v = \frac{s}{S}u = \frac{d}{D}u. $$
