Moment zotrvačnosti

Moment zotrvačnosti telesa je fyzikálna veličina, popisujúca vlastnosti telesa pri otáčavom pohybe. V rovniciach pre otáčavý pohyb je analógiou hmotnosti pre posuvný pohyb. Pre hmotný bod je to $I=mr^2$ kde $m$ je jeho hmotnosť , a $r$ je jeho vzdialenosť od osi otáčania. Pre viac bodov je celkový moment súčet momentov jednotlivých bodov. Pre zložité tuhé teleso, v našom prípade ľudské telo, by sme ho mohli skúsiť zmerať priamo, napríklad odmerať koľko energie potrebujeme na roztočenie okolo jeho osi, my ale zvolíme iný postup.

Fyzikálne kyvadlo

Čo vieme zmerať, a vystupuje tam moment zotrvačnosti? Napríklad periódu fyzikálneho kyvadla. Fyzikálne kyvadlo je tuhé teleso, ktoré pod vplyvom vlastnej tiaže kmitá okolo pevnej osi. Na rozdiel od matematického kyvadla, ktoré je iba hmotným bodom, fyzikálne kyvadlo je reálne hmotné teleso. Hlavý rozdiel v ich popise je, že pri popise fyzikálneho kyvadla uvažujeme jeho moment zotrvačnosti vzhľadom na príslušný bod závesu. Skúsme si odvodiť vzťah pre periódu.

Vieme, že pre otáčavý pohyb tuhého telesa okolo pevnej osi platí $$ D = I\epsilon\text{,} \qquad(1)$$

kde $I$ je moment zotrvačnosti telesa $\epsilon$ je uhlové zrýchlenie a $D$ je moment sily. Toto je analógia Newtonovho zákona sily $F=ma$ pri otáčavom pohybe. Na mierne vychýlené tuhé teleso pôsobí moment sily $$ D = -mgr\sin \phi\text{,} \qquad(2)$$

kde $r$ je vzdialenosť ťažiska telesa od osi otáčania, $\phi$ je výchylka kyvadla z rovnovážnej polohy a $m$ je hmotnosť telesa. Predpokladáme, že kmity sú malé, teda môžeme použiť priblíženie $\sin \phi \doteq \phi$, čo dosadíme do rovnice  2. Celé to dosadíme do rovnice  1 a dostaneme $$ I\epsilon = -mgr\phi \text{.} \qquad(3)$$

Teraz sa treba trochu zamyslieť, a využiť analógiu medzi veličinami pri posuvnom a otáčavom pohybe. Vieme, že pre lineárny pružinový oscilátor platí $$ ma = -kx\text{.} \qquad(4)$$

Analógiou hmotnosti $m$ je moment zotrvačnosti $I$, pre zrýchlenie $a$ je to $\epsilon$ a pre výchylku $x$ je to $\phi$. Všetky tieto veličiny z rovnice 4 majú svoje analógie v rovnici 3. Teda výraz $-mgr$ bude analógiou tuhosti pružiny $k$.

Teraz už s ďalším využitím analógii dostávame rovnicu pre periódu $$ T=\num{2}\pi \sqrt{\frac{I}{mgr}}\text{,} \qquad(5)$$

z čoho už vieme ľahko vyjadriť moment zotrvačnosti ako $$I=\frac{mgr}{\num{4}\pi^2}T^2 \text{.}$$

S využitím Steinerovej vety potom dostávame moment zotrvačnosti okolo rovnobežnej osi prechádzajúcej ťažiskom $$ I = \frac{mgr}{\num{4}\pi^2}T^2-mr^2 \text{.} \qquad(6)$$

Postup merania

Teraz už máme dobrý spôsob, ako odmerať moment zotrvačnosti ľudského tela vzhľadom na os kolmú na našu rovinu kmitania, prechádzajúcu ťažiskom. Budeme potrebovať pevný bod, napríklad strom, hrazdu alebo niečo podobné. Na pevný bod zavesíme lano. Takisto budeme potrebovať stopky, meracie pásmo a asistenta pri meraní.

Pri prvom spôsobe je to jednoduché. Najskôr zavesíme lano na pevný bod. Potom asistent odmeria vzdialenosť $a$ medzi závesom a naším ťažiskom, keď visíme na lane. Požiadame asistenta, nech nás vychýli a pustí, zatiaľ čo spustí stopky. Asistent odmeria päť periód. Počas merania nesmieme meniť rozloženie svojej hmotnosti. Inými slovami, nesmieme hýbať žiadnou časťou tela. Spravíme aspoň desať meraní.

Analýza nameraných dát

Namerané hodnoty dosadíme do vzťahu 6. Vypočítame priemery $\overline{T}$ a $\overline{I}$. Potom určíme štandardnú odchýlku $$ \sigma_{x}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}{\left(\overline{x}-x_i\right)^2}}{n}}\text{.} $$

kde $\overline{x}$ je priemerná hodnota meranej veličiny a $x_i$ sú jednotlivé namerané veličiny. $n$ je počet meraní. Teda napríklad pre periódu $$ \sigma_{x}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}{\left(\overline{T}-T_i\right)^2}}{10}}\text{.} $$

Rovnako počítame pre moment zotrvačnosti. Zo štandardnej odchýlky a priemeru určíme relatívnu odchýlku $$ \eta_{x} = \frac{\sigma_{x}}{\overline{x}}\cdot\SI{100}{\percent}\text{.} $$

Samozrejme, že odchýlky nemusíme rátať ručne, môžme použiť napríklad Excel, alebo pre fajnšmekrov pythonovskú knižnicu Numpy.

Meranie

Naše vstupné hodnoty boli: $$ \begin{aligned} m &= \SI{65\pm0.1}{\kilo\gram} \ a &= \SI{1 \pm 0.005}{\metre} \ g &= \SI{9.81}{\metre\per\second\squared} \end{aligned} $$

Namerané hodnoty:

Priemerná perióda: $\overline{T} = \SI[parse-numbers = false]{11.075 \pm 0.0875}{\second}$

Priemerný moment zotrvačnosti: $\overline{I} = \SI[parse-numbers = false]{14.2496\pm1.26131}{\kilo\gram\metre\squared}$

Relatívna chyba merania:$\eta_{I} = \SI{8.85}{\percent}$