Ako uchopiť tento problém? Ukážeme si dve riešenia, jedno pekné geometrické a druhé matematické a konceptuálnejšie náročnejšie.

Geometrické riešenie

Celý problém, ktorý je potrebné vyriešiť, je pretransformovať rýchlosť Jara zadanú vzhľadom na rieku do sústavy spojenej so Zemou.

* Jarova rýchlosť v sústave spojenej s riekou *

Jaro sa vzhľadom na vzťažnú sústavu rieky môže vybrať všetkými smermi od $0$ po $2 \pi$. Konce všetkých možných vektorov jeho rýchlosti tvoria kružnicu. Čo sa stane, ak ku týmto vektorom pripočítame vektor $v_r$? Je to ekvivalentné transformácii riečnej vzťažnej sústavy na pohyb vzhľadom na breh. Ku každému z pôvodných Jarových rýchlostných vektorov musíme pripočítať rýchlostný vektor rieky. Ako budú teraz vyzerať konce všetkých takto posunutých vektorov? Stále budú tvoriť kružnicu, ale jej stred bude posunutý o vektor $v_r$.

* Rýchlosť Jara vzhľadom na breh *

Z našich nových vektorov musíme vybrať ten, ktorý ukazuje najbližšie k vytúženému bodu na druhom brehu. Nuž a to je dotyčnica k tejto posunutej kružnici.

* Geometria úlohy *

Vidíme, že uhol $\phi$ výsledného pohybu vieme určiť ako $$ \phi = \arccos\left(\frac{3}{5}\right)\text{.} $$

Pokiaľ pod týmto uhlom prejdeme $x$-ovú vzdialenosť $L=\SI{0.3}{\kilo\metre}$, vzdialenosť $y$ určíme ako $$ h = L \tan{\left(\arccos\left(\frac{3}{5}\right)\right)}\text{.} $$

Ak sme si za nulu zvolili bod, kde stojí Jaroslav, platí $y =-h$.

Výsledok je $y=\SI{-0.4}{\kilo\metre}$. Na domácu úlohu si premyslite, prečo stačí uvažovať iba pohyb po úsečkách. Mínus vo výsledku odzrkadľuje fakt, že smer osi $y$ sme zvolili v opačnom smere, ako tečie rieka.

Analytické riešenie

Teraz si ukážeme analytické riešenie, v ktorom prídeme k funkcii vzdialenosti a nájdeme jej minimum pomocou derivácie. Pokiaľ vás predchádzajúca veta vydesila, pokojne preskočte druhú polovicu vzoráku.

* Súradnice a rýchlosti *

Zavedieme súradnicovú sústavu. Ako to už vo fyzike býva, dobrá voľba súradnicovej sústavy je polovica úspechu. Os $y$ zvolíme tak, aby kladný smer bol orientovaný proti smeru toku rieky.

Potom jej rýchlosť je $$ \vec{v_r} = \begin{bmatrix} 0 \ 5 \end{bmatrix} \si{\kilo\metre\per\second}\text{.} $$

Jaro je schopný plávať rýchlosťou $v_0 = \SI{3}{\metre\per\second}$ vzhľadom na vzťažnú sústavu rieky. Poznáme veľkosť jeho rýchlosti. Pokiaľ pláva pod uhlom $\phi$ od brehu, vektor jeho rýchlosti je $$ \vec{v_J} = \begin{bmatrix} v_{0} \sin\phi \ v_{0} \cos\phi \end{bmatrix}\text{,} $$

Nulový uhol stotožníme so stavom, kedy obe rýchlosti majú ten istý smer. Výsledná rýchlosť Jara vzhľadom na breh je $$ \vec{v} = \vec{v_J} + \vec{v_r} \begin{bmatrix} v_{0} \sin\phi \ v_{0} \cos\phi - 5 \end{bmatrix}\text{.} $$

Aby sa Jaro dostal na druhý breh, musí preplávať vzdialenosť $L=\SI{0.3}{\kilo\metre}$ v $x$-ovom smere. Čas, za ktorý sa tam dostane, je $$ t = \frac{L}{v_x} = \frac{L}{v_{0} \sin\phi}\text{.} $$

Zatiaľ sa v $y$-ovom smere posunie o $$ y = v_y t = L \frac{v_0 \cos\phi - 5}{v_{0} \sin\phi} = \frac{3 \cos\phi - 5}{10 \sin\phi}\text{.} $$

Nás zaujíma, akú najmenšiu hodnotu môže $y$ dosiahnuť. Čiže hľadáme minimum funkcie $y(x)$. Buď pomocou Wolfram|Alpha[^1] si vykreslíme graf a určíme minimum, alebo derivovaním zistíme, že minimum je pri polohe $$ y = \SI{-0.4}{\kilo\metre}\text{,} $$

Využili sme pritom matematickú znalosť, ktorá hovorí, že v bode, kde funkcia dosahuje svoju minimálnu alebo maximálnu hodnotu, je derivácia nulová: $$ \frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x} \overset{!}{=} 0\text{,} $$

odkiaľ $$ x = 2 \arctan\frac{1}{2}\text{.} $$

Takže sme si ukázali názorný algoritmický postup. Nemusíte sa trápiť, ak ešte neviete, čo je derivácia. Stačí, ak si zapamätáte, že sa pomocou nej dá nájsť extrém funkcie a že so samotným výpočtom vám dokáže pomôcť počítač.

1. https://www.wolframalpha.com/↩