Pre potreby tejto úlohy je dobré mať aspoň základné poznatky o zvuku. Vystačíme si s tým, že zvuk je akési vlnenie, ktoré sa šíri prostredím. Toto vlnenie rozkmitá bubienok v uchu a my to vnímame ako zvuk. Je prirodzené, že pod hlasitosťou rozumieme to, ako veľké je toto kmitanie. No buďme trochu odbornejší. Snáď každý vie, že hlasitosť sa udáva v decibeloch. Buď viete, čo tie decibely sú, alebo ste si to vyhľadali na internete. V každom prípade ste určite narazili na takúto definíciu: $$ L=\log\left(\frac{I}{I_{0}}\right)\:\left[\si{\bel}\right]\:=10\log\left(\frac{I}{I_{0}}\right)\:\left[\si{\deci\bel}\right]\text{,} $$

kde $L$ je hladina intenzity zvuku, $I$ je intenzita zvuku a $I_{0}$ je nejaká referenčná intenzita. Nie je problém vygoogliť, že referenčná intenzita je zvolená zhruba ako najslabší zvuk, ktorý dokáže ľudské ucho zachytiť a má hodnotu $I_{0} = 10^{12} \si{\watt\per\metre\squared}$.

Pre potreby tejto úlohy nie je nutné vedieť, čo presne intenzita zvuku je, no už na základe jednotky vieme, že ide o hustotu výkonu zvukovej vlny. Pre nás je dôležité to, že výkon zvukovej vlny sa musí zachovávať. No a keď sa vlnoplocha vzďaľuje od zdroja, rastie jej plocha so štvorcom vzdialenosti, preto hustota výkonu bude klesať so štvorcom vzdialenosti, a teda intenzita zvuku bude úmerná $$ I\left(r\right)\propto\frac{1}{r^{2}}\text{.} $$

* Geometria miestnosti *

Vybavení týmito informáciami môžeme pristúpiť k riešeniu našej úlohy. Zaveďme si súradnicovú sústavu tak, že jej osi sú paralelné so stenami miestnosti a jej počiatok leží v rohu izby. Potom Helbojov reprák má súradnicu $x=\SI{0}{\metre}$, Helboj $x=\SI{1}{\metre}$, jeho brat $x=\SI{4}{\metre}$ a bratov reprák $x=\SI{5}{\metre}$. Stačí nám uvažovať len intenzity na ich osi, preto efektívne riešime len 1D problém. Intenzita Helbojovho repráku sa mení ako $$ I_{H}\left(x\right)=\frac{\hat{I}_{H}}{x^{2}} $$

a intenzita bratovho repráku ako $$ I_{B}\left(x\right)=\frac{\hat{I}_{B}}{\left(5-x\right)^{2}}\text{.} $$

Z požiadavky, že každý z bratov má počuť hlasnejšie práve ten svoj reprák, dostávame dvojicu podmienok $$\begin{gather} I_{H}\left(1\right)>I_{B}\left(1\right)\;\longrightarrow\;\hat{I}{H}>\frac{1}{16}\hat{I}\ I_{H}\left(4\right)<I_{B}\left(4\right)\;\longrightarrow\;\frac{1}{16}\hat{I}}\text{,{H}<\hat{I} \end{gather}\text{.}$$ Keď poznáme definíciu hladiny intenzity, nie je žiadnym kumštom prepísať tieto nerovnosti v intenciách hladín intenzity:[^1] $$\begin{gather} \frac{\hat{I}{H}}{I}}>\frac{1}{16}\frac{\hat{I{B}}{I}}\;\longrightarrow\;10\log\left(\frac{\hat{I{H}}{I}}\right)>10\log\left(\frac{1}{16}\frac{\hat{I{B}}{I\ \frac{1}{16}\frac{\hat{I}}}\right)\;\longrightarrow\;L_{H}^{min}>L_{B}-10\log16\text{,{H}}{I}}<\frac{\hat{I{B}}{I}}\;\longrightarrow\;10\log\left(\frac{1}{16}\frac{\hat{I{H}}{I}}\right)<10\log\left(\frac{\hat{I{B}}{I \end{gather}}\right)\;\longrightarrow\;L_{H}^{max}-10\log16<L_{B}\text{.}$$

Dostávame teda, že Helboj môže pustiť svoj reprák v rozmedzí hladín intenzity $$ L_H = L_{B}\pm 10\log 16\doteq \SI{60\pm12}{\deci\bel}\text{.} $$

1. Používame takú definíciu hladiny intenzity, aby vychádzala priamo v decibeloch.↩