Stanovme si nulovú hladinu potenciálnej energie vo výške, v ktorej sa nachádza blcha. Pred skokom nemá žiadnu energiu. Energia, ktorú musí blcha vyvinúť na jeden skok, je $E = \frac{1}{2}mv^{2}$. Hľadáme minimálne $E$ potrebné na doskočenie na okraj ďalšieho schodu, lebo naša blcha je lenivá a chce minúť minimum energie. Hmotnosť má konštantnú, teda hľadáme minimálne $v^{2}$.

Uvažujme, že blcha skáče pod uhlom $\alpha$. Napíšme si pohybové rovnice vo vodorovnom a zvislom smere:

$$v\cos(\alpha)t = h\text{,}$$ $$v\sin(\alpha)t - \frac{gt^{2}}{2} = h\text{.}$$

Vyjadrime si z prvej rovnice $t$: $$t = \frac{h}{v\cos(\alpha)}\text{.}$$

Dosaďme za $t$ do druhej rovnice a upravíme: $$h\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} - \frac{gh^{2}}{2v^{2}cos^{2}(\alpha)} = h\text{,}$$ $$\sin(\alpha) - \cos(\alpha) = \frac{gh}{2v^{2}cos(\alpha)}\text{,}$$ $$\sin(\alpha)\cos(\alpha) - \cos^{2}(\alpha)= \frac{gh}{2v^{2}}\text{.}$$

Nakoniec si vyjadríme $v^{2}$: $$v^{2} = \frac{gh}{2}\frac{1}{\sin(\alpha)\cos(\alpha) - \cos^{2}(\alpha)}\text{.}$$

Keďže $g$ a $h$ sú konštanty, tak pre minimálne $v^{2}$ musíme nájsť maximum funkcie $\sin(\alpha)\cos(\alpha) - \cos^{2}(\alpha)$ na intervale $\left(\ang{0};\ang{90}\right)$. Maximum môžeme nájsť napríklad graficky.

Figure 1: Vykreslenie funkcie

Z grafu vidíme, že funkcia nadobúda maximum pri $\alpha=\ang{67.5}$, a že pri $\ang{45}$ a menších uhloch je nemožné doskočiť na okraj. Minimálna energia na jeden skok je $$ E = \frac{mgh}{4}\frac{1}{\sin(\ang{67.5})\cos(\ang{67.5}) - \cos^{2}(\ang{67.5})}. $$

Ako môžeme vidieť, energia závisí jedine od výšky, a to lineárne. Takže na dva skoky o jeden schod blcha spotrebuje rovnako veľa energie ako na jeden skok o dva schody. Teda ani jeden spôsob skákania nie je výhodnejší, než ten druhý.

Je jedno akým spôsobom blcha skáče, takže na vyskákanie celého schodiska musí spraviť napríklad 12 skokov o jeden schod. Celková energia teda bude $$ E_{c} = \frac{3mgh}{\sin(\ang{67.5})\cos(\ang{67.5}) - \cos^{2}(\ang{67.5})}. $$