Priemerný človek je schopný počuť zvuk s intenzitou väčšou ako prahová intezita $$I_{0}=\SI{1e-12}{\watt\per\metre\squared}$$. Keďže šírenie je izotropné, pre intenzitu v určitej vzdialenosti $$r$$ od zdroja s výkonom $$P$$ platí:

$$I \cdot 4\pi r^2=P$$ $$r_{max}=\sqrt{\frac{P}{4\pi I_{0}}}$$

Po dosadení $$P=\SI{1500}{\watt}$$ dostaneme, že rádový odhad $$r_0\approx \SI{1.1e7}{\metre}$$. Príklad je zrátaný a môžeme spokojne submitnúť.

No, to teda určite nie. V šiestom príklade nemôže byť taká jednoduchá vec. Na čo sme zabudli? Keďže vzdialenosť medzi reproduktormi je porovnateľná s vlnovou dĺžkou zvuku, musíme pri počítaní rátať aj s interferenciou.

Uvažujme, že membrána reproduktora vykonáva harmonické kmity šíriace sa do priestoru bez strát. Zvuk je pozdĺžne vlnenie, ktoré je prenášané zhusťovaním a zrieďovaním vzduchu. Vlnu môžeme reprezentovať funkciou $$\chi(\vec{r},t) = A \cos{(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r})}$$, kde $$k=\frac{2\pi}{\lambda }$$ je vlnové číslo, reprezentujúce koľko vlnových dĺžok sa zmestí do $$2\pi$$ a smer vektora $$\vec{k}$$ je v smere šírenia vlny[^1], a $$\omega=2\pi f$$ je uhlová frekvencia vlny. Keď sa poslucháč nachádza v dostatočnej vzdialenosti od reproduktorov, zvuk od vzdialenejšieho reproduktora prejde vzdialenosť väčšiu o $$\Delta = d \sin{\phi}$$, kde $$\phi$$ je uhol od kolmice, pod ktorým sa šíri zvuková vlna od reproduktoru ku poslucháčovi. Pre zvukovú vlnu v mieste, kde sa poslucháč nachádza, platí:

$$\chi_1(\vec{r},t) = A \cos{\left(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r}\right)}$$ $$\chi_2(\vec{r},t) = A \cos{\left(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r}-kd \sin{\phi}\right)}$$ $$\chi(r,t) = \chi_1(\vec{r},t) + \chi_2(\vec{r},t) = 2A \cos{\frac{kd \sin{\phi}}{2}} \cos{\left(\omega t - \vec{k}\cdot\vec{r}-\frac{kd \sin{\phi}}{2}\right)}$$

* Poloha reproduktorov *

Všimnime si, že keby sme zanedbali interferenciu, tak by sme vo funkcii nemali člen $$\cos{\frac{kd \sin{\phi}}{2}}$$. Čo tento člen spôsobuje? Obmedzuje hodnotu amplitúdy v niektorých smeroch šírenia $$\phi$$. Napríklad vieme určiť smery, v ktorých je intenzita nulová:

$$\cos{\frac{kd \sin{\phi}}{2}} = 0$$ $$\frac{kd \sin{\phi}}{2}=\frac{\pi}{2}+n\pi \qquad n=0, 1, 2, \dots$$ $$\sin{\phi} = \frac{(1+2n)c}{2df}$$

kde $$c$$ je rýchlosť vzduchu[^2]. Pre frekvenciu $$f=\SI{100}{\hertz}$$ sú „tiché uhly“ $$\num{2.38}$$°, $$\num{7.17}$$°, $$\num{12.01}$$°… V týchto smeroch poslucháči nebudú Mekyho počuť. V blízkom okolí „tichých uhlov“ bude amplitúda výrazne nižšia, a teda hraničná vzdialenosť $$r_{\mathrm{max}}$$ je kratšia.

Na jej určenie je potrebné vedieť, ako závisí intenzita zvuku od amplitúdy $$\chi$$-funkcie. Závislosť určuje vzťah[^3], $$I=\frac{1}{2}\sqrt{\kappa p_0 \rho_{0}}\omega^2 A^2$$, kde $$p_0, \rho_0 $$ je pokojový tlak, resp. hustota vzduchu a $$\kappa$$ je Poissonova konštanta.

Vieme, že $$I\propto \frac{1}{4\pi r^2}$$, a teda $$A\propto \frac{1}{2\sqrt{\pi}r}$$. Počiatočná hodnota $$A\mid_{r=0}=A_0$$ sa zistí zo vzťahu pre výkon. Vzťah uvádzame bez odvodenia, ktorého zložitosť by mohla byť pre čitateľa odpudzujúca[^4]:

$$P=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\kappa p_0}{\rho_0}}A_0^2\omega ^2$$

Z čoho dostávame:

$$A_0=\sqrt{\frac{2P}{\omega^2}\sqrt{\frac{\rho_0}{\kappa p_0}}}$$

Konečne môžeme vyjadriť intenzitu zvuku ako funkciu vzdialenosti:

$$I=\frac{1}{2}\sqrt{\kappa p_0 \rho_0 }\omega^2 \left(\frac{2A_0}{2\sqrt{\pi}r}\cos{\frac{kd \sin{\phi}}{2}}\right)^2$$ $$r_{max}(\phi)=\sqrt{\frac{P\rho_0}{\pi I_0}}\cos{\frac{kd \sin{\phi}}{2}}$$

Prečo je hranica počuteľnosti v niektorých smeroch rádovo $$\SI{10000}{\kilo\metre}$$? V prvom rade sme ignorovali straty pri prenose zvuku vo vzduchu. V druhom rade je potrebné si vedomiť, že „bežné“ ticho má hladinu intezity cca $$\SI{15}{\deci\bel}$$[^5], čo zníži skutočnú hranicu o 1 až 2 rády. Takisto musíme podotknúť, že Mekyho vypaľovačky nie sú monochromatické, teda frekvencia zvuku sa v čase mení a maximá a minimá $$r_{max}(\phi)$$ sa posúvajú.

Pravdaže, na získanie plného počtu bodov stačilo vhodne vysvetliť, prečo intenzita zvuku klesá $$\propto \frac{1}{r^2}$$ a dostatočne kvantitatívne načrtnúť, ako by bola do výpočtu vložená interferencia.

1. $$\vec{k}\cdot\vec{r}$$ je skalárny súčin vektora $$\vec{k}$$ s vektorom $$\vec{r}$$, pre ktorý platí $$\vec{k}\cdot\vec{r}=k_x \cdot x + k_y \cdot y + k_z \cdot z$$.↩

2. Nemýliť si s rýchlosťou objemového elementu, ktorá sa dá získať zderivovaním funkcie $$\chi (\vec{r},t)$$, lebo nejde o tú istú rýchlosť.↩

3. Odvodenie vyžaduje hlbšie štúdium problematiky vĺn. V prípade záujmu môžete siahnuť po Feynmanovych prednáškach z fyziky (české vydanie, 1. diel, kap. 47), podrobnejší, no náročnejší zdroj informácií ponúka David Morin vo svojej ešte nevydanej knihe „Waves“, príslušnú kapitolu nájdete na http://www.people.fas.harvard.edu/~djmorin/waves/longitudinal.pdf↩

4. Prípadní zvedavci ho nájdu v spomínaných skriptách D. Morina, v kapitole 5.↩

5. hladina intenzity sa udáva v notoricky známej stupnici decibelov a platí $$L=log{\frac{I}{I_0}}$$↩