6. Ľadovcová sánkovačka II. vzorové riešenie

Zadanie

Pamätáte si na Filipove ľadovcové dobrodružstvo z predchádzajúcej série?¹ Kvík si povedal, že nie je o nič horší, zostrojil si zariadenie na odpaľovanie kvádrika a vybral sa ku svojmu obľúbenému ľadovcu. Ten nie je hocijaký, ale pozostáva výlučne z rovinných častí. Kvík postupoval rovnako ako Filip a získal tieto dáta. Na základe nich nájdite profil ľadovca a vyznačte, odkiaľ Kvík vykonával svoje merania. Nezabudnite uviesť všetky dôležité parametre (výška a sklon ľadovca, poloha zlomu).

---

1. https://fks.sk/ulohy/zadania/1503/↩

Hovoríte si, že tento príklad bude malina a nemôže priniesť nič zaujímavé oproti príkladu z predchádzajúcej série?¹ Nuž oprobujme. Princíp riešenia bude, samozrejme, rovnaký. Nebudeme sa preto zapodievať zdĺhavou kvalitatívnou analýzou. Poučení riešením minulého príkladu² vieme určiť, ako bude Kvíkov ľadovec vyzerať. Ale naozaj? Máme tu totiž nejaké nové črty. Menovite musíme vedieť interpretovať časy idúce do nekonečna. Ak ste však minule čítali vzorák pozorne, nemalo by to robiť veľký problém.

Kvíkov graf hovorí, že ak kvádrik vypustíme s veľmi malou rýchlosťou, tak by mal byť čas návratu obrovský. Ale ako je to možné? Veď predsa keď takto pomaly idúci kvádrik začne stúpať po ľadovci nahor, musí prakticky okamžite zastať a vrátiť sa. Riešenie je prosté – kvádrik nemôže hneď začať stúpať. To znamená, že ľadovec môže buď zo začiatku klesať a potom stúpať, alebo tam môže byť zo začiatku vodorovný úsek.

Vplyv jamy v ľadovci na čas návratu kvádrika sme skúmali už minule a zistili sme, že jama v ľadovci spôsobuje konečne veľké zdržanie kvádrika, čiže na grafe by sa mal v prípade jamy objaviť odskok konečnej výšky. Ozaj, aj na sústredení bude riešením štvrtej šifry slovo ľadovec, ale láskavo si to nechaj pre seba. Ďalej sme povedali, že čím je jama plytšia, tým je odskok na grafe väčší. My však na Kvíkovom grafe vidíme nekonečne veľký odskok,³ čo znamená, že jama musí byť nekonečne plytká, a teda je to de facto rovina. Kvík si teda na rozdiel od Filipa drží od ľadovca odstup.

Ďalej na grafe vidíme zlom. Jeho prítomnosť sme si vysvetlili už minule. Ostrý zlom v grafe značí skokovú zmenu sklonu. Akurát v tomto prípade je zlom opačne otočený a po zlome sa graf blíži k priamke s miernejším sklonom. To znamená, že sklon ľadovca sa mení skokovo k strmšiemu.

Posledná črta na grafe je odskok na konci, za ktorým už nemáme zobrazené žiadne dáta. To sa dá interpretovať veľmi jednoducho – nech Kvík akokoľvek zyšoval rýchlosť kvádrika, ten sa už nevrátil. To znamená, že kvádrik už musel dosiahnuť vrchol ľadovca. Čo sa nachádza za vrcholom, na základe dát, ktoré máme k dispozísii, rozhodnúť nevieme.

Keď už vieme, ako má ľadovec vyzerať, môžeme pristúpiť k počítaniu. Budeme postupovať nasledovne – budeme vychádzať zo známeho tvaru a dopočítame príslušné charakteristické návratové časy pre význačné počiatočné rýchlosti. Potom rovnice otočíme a vyjadríme z nich parametre ľadovca.

Označme postupne rýchlosti na grafe \(V_{0}\), \(V_{1}\) a \(V_{2}\) a im prislúchajúce návratové časy \(T_{0}\), \(T_{1}\) a \(T_{2}\). Začnime tým najjednoduchším, a tým je určenie výšky polohy zlomu \(h_{1}\) a celkovej výšky ľadovca \(H\). To vieme urobiť priamo zo zákona zachovania energie. Vieme totiž, že ak vystrelíme kvádrik rýchlosťou \(V_{1}\), zastane presne v mieste zlomu, a ak ho vystrelíme rýchlosťou \(V_{2}\), dosiahne práve vrchol ľadovca, preto platí \[ \begin{aligned} h_{1} & =\frac{V_{1}^{2}}{2g}\text{,}\\ H & =\frac{V_{2}^{2}}{2g}\text{.} \end{aligned} \qquad(1)\]

Zvyšné výpočty už nebudú také jednoduché. Budeme musieť poctivo vychádzať z kinematických rovníc pre rovnomerný a rovnomerne zrýchlený pohyb a presne matematicky popísať Kvíkov graf. Budeme musieť uvažovať tri prípady v závislosti na počiatočnej rýchlosti kvádrika \(v_{0}\).

Prvý prípad: \(v_{0}\leq V_{1}\)

V tomto prípade nemá kvádrik dostatočnú rýchlosť, aby prekonal skok v sklone ľadovca. To znamená, že sa najskôr pohybuje po rovine a potom začne stúpať. Vodorovnú časť prekoná za čas \(t_{0}=\frac{x_{0}}{v_{0}}\).⁴ Následne sa začne pohybovať so spomalením \(a_{1}=g\sin\alpha_{1}\). Spomalený pohyb až do momentu zastavenia trvá čas \(t_{1}=\frac{v_{0}}{g\sin\alpha_{1}}\). Celkový čas do návratu je dvojnásobkom súčtu týchto dvoch časov \[ T=2\left(t_{0}+t_{1}\right)=2\left(\frac{x_{0}}{v_{0}}+\frac{v_{0}}{g\sin\alpha_{1}}\right)\text{.} \qquad(2)\]

Druhý prípad: \(V_{1}\leq v_{0}\leq V_{2}\)

Aj v tomto prípade sa kvádrik najskôr pohybuje po rovine po dobu \(t_{0}=\frac{x_{0}}{v_{0}}\) a potom začne spomaľovať pri stúpaní. Tentokrát však prekročí aj zlom v ľadovci, preto treba uvažovať rozdielne spomaľovanie na jednotlivých úsekoch. Najskôr spomaľuje so spomalením \(a_{1}=g\sin\alpha_{1}\) na dráhe \(s_{1}=\frac{h_{1}}{\sin\alpha_{1}}\), teda platí \(\frac{h_{1}}{\sin\alpha_{1}}=v_{0}t_{1}-\frac{1}{2}g\sin\alpha_{1}t_{1}^{2}\). Riešením tejto rovnice je čas spomaľovania \(t_{1}=\frac{v_{0}\pm\sqrt{v_{0}^{2}-2h_{1}g}}{g\sin\alpha_{1}}\). Zoberieme riešenie so znamienkom mínus, pretože čas spomaľovania musí byť určite kratší než čas \(t_{1}^{\prime}=\frac{v_{0}}{g\sin\alpha_{1}}\), ktorý by zodpovedal úplnému zastaveniu. V tomto momente má rýchlosť \(v_{1}=v_{0}-g\sin\alpha_{1}t_{1}=\sqrt{v_{0}^{2}-2h_{1}g}=\sqrt{v_{0}^{2}-V_{1}^{2}}\). Následne vstúpi do druhej časti ľadovca, kde sa pohybuje so spomalením \(a_{2}=g\sin\alpha_{2}\). Pohyb v tejto časti do úplného zastavenia trvá \(t_{2}=\frac{v_{1}}{g\sin\alpha_{2}}=\frac{\sqrt{v_{0}^{2}-V_{1}^{2}}}{g\sin\alpha_{2}}\). Výsledný čas do návratu je teda \[ T=2\left(t_{0}+t_{1}+t_{2}\right)=2\left(\frac{x_{0}}{v_{0}}+\frac{v_{0}\pm\sqrt{v_{0}^{2}-V_{1}^{2}}}{g\sin\alpha_{1}}+\frac{\sqrt{v_{0}^{2}-V_{1}^{2}}}{g\sin\alpha_{2}}\right)\text{.} \qquad(3)\]

Tretí prípad \(V_{2}\leq v_{0}\)

Posledný prípad je najjednoduchší. Odbavíme ho bez akéhokoľvek počítania. Vieme, že v tomto prípade sa kvádrik nevráti, preto priamo píšeme \[ T=\infty\text{.} \qquad(4)\]

Teraz sa môžeme pozrieť, aké časy zodpovedajú hraničným rýchlostiam \(V_{1}\) a \(V_{2}\). Spravíme tak jednoduchým dosadením týchto rýchlostí do  2, resp.  3. Dostaneme \[ \begin{aligned} T_{1} & =2\left(\frac{x_{0}}{V_{1}}+\frac{V_{1}}{g\sin\alpha_{1}}\right)\text{,}\\ T_{2} & =2\left(\frac{x_{0}}{V_{2}}+\frac{V_{2}\pm\sqrt{V_{2}^{2}-V_{1}^{2}}}{g\sin\alpha_{1}}+\frac{\sqrt{V_{2}^{2}-V_{1}^{2}}}{g\sin\alpha_{2}}\right)\text{.} \end{aligned} \qquad(5)\]

Získali sme dve rovnice o troch neznámych \(x_{0}\), \(\alpha_{1}\) a \(\alpha_{2}\), takže potrebujeme ešte jednu nezávislú rovnicu. Doteraz sme ešte nikde nevyužili rýchlosť \(V_{0}\) a nej prislúchajúci čas návratu, tak sa zamyslime, ako ich vieme využiť. Všimnime si, že v okolí rýchlosti \(V_{0}\) sa návratový čas veľmi nemení, teda možno písať \[ T\left(V_{0}\right)\approx T\left(V_{0}+\delta V\right)\text{,} \]

kde \(\delta V\) je malá zmena rýchlosti. Keďže tieto rýchlosti sú menšie ako \(V_{1}\), za \(T\) dosadíme výraz  2 a dostaneme \[ 2\left(\frac{x_{0}}{V_{0}}+\frac{V_{0}}{g\sin\alpha_{1}}\right)\approx2\left(\frac{x_{0}}{V_{0}+\delta V}+\frac{V_{0}+\delta V}{g\sin\alpha_{1}}\right)\text{.} \]

Postupnými úpravami sa vieme dopracovať k tvaru \[ x_{0}\approx\frac{V_{0}\left(V_{0}+\delta V\right)}{g\sin\alpha_{1}}\text{.} \]

Vzhľadom na to, že \(\delta V\ll V_{0}\), tak platí \[ x_{0}=\frac{V_{0}^{2}}{g\sin\alpha_{1}}\text{.} \qquad(6)\]

Alternatívne vieme použiť priamo rovnicu  2 napísanú pre bod \(\left[V_{0};T_{0}\right]\) a mali by sme dostať rovnaký číselný výsledok. Ak však budeme hľadať analyticlé riešenie, budeme pravdepodobne dostávať zložitejšie výrazy, v ktorých bude vystupovať aj čas \(T_{0}\).

Konečne sme získali sústavu troch rovníc o troch neznámych, ktorú vieme vyriešiť. Tieto rovnice sú pomerne komplikované, a tak môžeme zvoliť cestu menšieho odporu a sústavu vyriešiť numericky. Avšak pre prípad, že sa medzi riešiteľmi nachádzajú podobní masochisti, ako je autor tohto vzoráku, uvedieme si tu analytické riešenie.

Ako prvý krok z rovníc vylúčime uhol \(\alpha_{1}\). Z  6 vyjadríme \[ \frac{1}{g\sin\alpha_{1}}=\frac{x_{0}}{V_{0}^{2}} \qquad(7)\]

a dosadíme do rovnice 5. Dostaneme \[ T_{1} =2\left(\frac{1}{V_{1}}+\frac{V_{1}}{V_{0}^{2}}\right)x_{0}\text{,} \qquad(8)\]

\[ T_{2} =2\left(\left(\frac{1}{V_{2}}+\frac{V_{2}-\sqrt{V_{2}^{2}-V_{1}^{2}}}{V_{0}^{2}}\right)x_{0}+\frac{\sqrt{V_{2}^{2}-V_{1}^{2}}}{g\sin\alpha_{2}}\right)\text{.} \qquad(9)\]

Následne z rovníc vylúčime aj \(x_{0}\). Z rovnice 8 \[ x_{0}=\frac{T_{1}V_{1}V_{0}^{2}}{2\left(V_{0}^{2}+V_{1}^{2}\right)}\text{,} \qquad(10)\]

no a po dosadení do rovníc 7 a 9 konečne dostávame \[ \sin\alpha_{1} =2\frac{V_{0}^{2}+V_{1}^{2}}{V_{1}gT_{1}}\text{,} \qquad(11)\]

\[ \sin\alpha_{2} =\frac{2\sqrt{V_{2}^{2}-V_{1}^{2}}}{g\left(T_{2}-\frac{V_{1}\left(V_{0}^{2}+V_{2}^{2}-V_{2}\sqrt{V_{2}^{2}-V_{1}^{2}}\right)}{V_{2}\left(V_{0}^{2}+V_{1}^{2}\right)}T_{1}\right)}\text{.} \qquad(12)\]

Teraz už zostáva len dopočítať numerické hodnoty všetkých parametrov: \[\begin{gathered} x_{0} =\SI{5}{\metre} \\ \alpha_{1} \doteq \ang{30} \\ h_{1} \doteq\SI{20}{\metre} \\ x_{1} = x_{0} + h_{1}\,\text{cotg }\alpha_{1}\doteq\SI{40}{\metre} \\ \alpha_{2} \doteq \SI{60}{\degree} \\ h_{2} = \frac{V_{2}^{2}-V_{1}^{2}}{2g} \doteq \SI{60}{\metre} \\ x_{2} =x_{1}+h_{2}\,\text{cotg }\alpha_{2}\doteq\SI{74}{\metre} \\ H \doteq \SI{80}{\metre} \end{gathered}\]