6. Dlhý, Široký a Krátkozraký

Dlhý, Široký a Krátkozraký narazili pri prechádzke okolo jazera na hojdačku visiacu nad vodnou hladinou. Hojdačka pozostáva z nehmotného papeku¹ zaveseného na jednom lane visiacom z konára stromu tak, že uzol delil papek v pomere \(2:3\). Dlhý so Širokým to okamžite využili a každý z nich uchopil papek za jeden koniec – Dlhý za dlhší a Široký za kratší – a začali sa hojdať pekne v protifáze (keď jeden šiel hore, druhý sa hýbal nadol). Naneštastie, papek visel veľmi nízko, a tak obaja boli po celý čas čiastočne ponorení v chladných vodách jazera. Krátkozraký ich mal pozorovať z brehu a odmerať periódu malých kmitov. Zrak si však pokazil pri štúdiu fyzikálnych kníh, a tak, keď už ju nemohol odsledovať, zvládol ju aspoň vypočítať.

Aká je perióda malých kmitov takejto hojdačky? Uvažujte, že Dlhý má hmotnosť \(m\) a Široký \(\frac{3}{2}m\), a že obaja majú v každej výške tela konštantný prierez – Dlhý \(S\) a Široký \(\frac{4}{3}S\). Hustota vody je \(\rho\) a tiažové zrýchlenie je \(g\). Vodu považujte za ideálnu kvapalinu, ktorá nekladie telesám pohybujúcim sa v nej žiaden odpor.