6. To chce gule

Pamätáte sa na piráta Francisa, ako so svojou loďou plával po plochej Zemi? Nepamätáte? No čo už. Ako si tak plával cez Pacifik, odchytili ho aj s loďou mimozemšťania pomocou ťažného lúča a uskladnili za účelom neskoršej analýzy. Francisova loď sa teraz voľne vznáša v bezváhovom stave vnútri gigantickej kozmickej lode. Kam len Francis dovidí, rozprestiera sa len obyčajný vzduch s teplotou \(\SI{0}{\celsius}\) pri tlaku \(\SI{100}{\kilo\pascal}\).

V rámci protestu proti tomuto uväzneniu Francis prikáže svojim námorníkom, aby z dela vypálili olovenú guľu s priemerom \(\SI{10}{\centi\metre}\). Guľa vyletí z hlavne rýchlosťou \(\SI{100}{\metre\per\second}\). Ako ďaleko doletí, než ju odpor vzduchu zastaví a ako dlho to potrvá, ak odporová sila závisí od rýchlosti ako \(F = -\frac{1}{2} C_d S \rho_\mathrm{vzduch} v^2\)?

Najprv uvažujte konštantný odporový koeficient pre guľu, \(C_d = \num{0.47}\). Námorní delostrelci však dobre vedia, že to také jednoduché nie je. V šestnástom storočí možno odporový koeficient bol konštantný, doba však pokročila a dnes už závisí aj od Reynoldsovho čísla. Konkrétne takto, podľa Morrison, 2016: \[ C_d(\mathrm{Re}) = \frac{24}{\mathrm{Re}} + \frac{ \num{2.6} \left(\frac{\mathrm{Re}}{5}\right) }{ 1 + \left(\frac{\mathrm{Re}}{5}\right)^{\num{1.52}} } + \frac{ \num{0.411} \left(\frac{\mathrm{Re}}{263000}\right)^{\num{-7.94}} }{ 1 + \left(\frac{\mathrm{Re}}{263000}\right)^{-8} } + \frac{ \num{0.25} \left(\frac{\mathrm{Re}}{\num{e6}}\right) }{ 1 + \left(\frac{\mathrm{Re}}{\num{e6}}\right) }. \]

Uvažujte, že po vypálení gule zostane Francisova loď v pokoji. Pri riešení úlohy odporúčame programovať alebo použiť nejaký tabuľkový procesor.