5. Lenivý tvor

Hovorca si minule povedal, že musí so svojou lenivosťou začať niečo robiť. Zobral si preto starú zbierku úloh FX a s vervou sa pustil do čítania. Našiel takúto úlohu:

„Na lanku dĺžky \(l\) visí zo stropu zavesený drevený kvádrik hmotnosti \(M\). Do kvádrika vystrelíme projektil s hmotnosťou \(m\) a rýchlosťou \(v\), ktorý do kvádrika vletí kolmo na lanko. Aká môže byť táto rýchlosť, aby sa lanko nepretrhlo, ak vieme, že vydrží najviac silu \(F\)?“

Na okraji strany so zadaním bolo rôznymi rukopismi napísaných aj niekoľko výsledkov: \[ \begin{aligned} 1. \qquad v &\le \left(M+m\right)\sqrt{\frac{F}{M+\frac{m}{2}} - g} \cdot l^2 \\ 2. \qquad v &\le \frac{M+m}{m}\sqrt{\left(\frac{F}{M-m} - g\right)l} \\ 3. \qquad v &\le \frac{M-m}{m}\sqrt{\left(\frac{F}{M+m}-g\right)l} \\ 4. \qquad v &\le \frac{M+m}{m}\sqrt{\left(\frac{F}{M+m}-g\right)l} \\ 5. \qquad v &\le \frac{M+m}{m}\sqrt{\left(\frac{Mg}{m}-g\right)l} \\ 6. \qquad v &\le \frac{M+m}{m}\sqrt{\left(g-\frac{F}{M+m}\right)l} \\ 7. \qquad v &\le \frac{M+m}{M}\sqrt{\left(\frac{F}{M+m}-g\right)l} \\ \end{aligned} \]

Hovorca je síce veľmi zvedavý, ktoré výsledky by mohli byť správne, ale je tiež veľmi lenivý… Rozhodnite bez vyriešenia úlohy v zbierke o každom výsledku, či môže alebo nemôže byť správny a prečo.