7. Zálohovanie vzorové riešenie

Zadanie

Matúš doma upratuje zálohované plechovky. Keďže je to veľký výmyselník, snaží sa ich uložiť do pyramídy. Plechovky ale nechcú spolupracovať a stále padajú. To ho hnevá, a tak si ide vypočítať potrebné koeficienty trenia, aby svoju pyramídu vedel postaviť.

Majme tri valce s hmotnosťou \(M\) a polomerom \(R\). Snažíme sa ich postaviť do pyramídy, pričom spodné dva valce sa dotýkajú ako na obrázku 1. Aké sú podmienky pre koeficient trenia \(f_1\) medzi plechovkami navzájom a \(f_2\) medzi plechovkami a podložkou aby Matúšova stavba nespadla?

Z dôvodu prehľadnosti riešenia na začiatok prejdeme výpočtom potrebným na určenie koeficientov trenia. Následne uvedieme niekoľko poznámok, ktoré nemusia byť na prvý pohľad jasné.

Keďže ide o statický prípad, tak výslednica síl pôsobiacich na každú plechovku musí byť nulová a výsledný moment sily pôsobiaci na každú plechovku musí byť taktiež nulový. Keďže je celý problém symetrický podľa vertikálnej osi prechádzajúcej stredom vrchnej plechovky, stačí nám uvažovať len jednu zo spodných plechoviek.

Z podmienok statiky vo vertikálnom smere pre hornú plechovku dostávame \[ Mg = 2N_1 \cos\ang{30} + 2T_1 \sin\ang{30} = 2\left(N_1\frac{\sqrt{3}}{2} + T_1\frac{1}{2}\right). \qquad(1)\]

Z podmienok statiky vo vertikálnom smere pre dolnú plechovku dostávame \[ Mg + N_1 \cos\ang{30} + T_1\sin{30} = Mg + N_1\frac{\sqrt{3}}{2} + T_1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}Mg = N_2, \qquad(2)\] kde sme v druhej rovnosti využili rovnicu 1.

Z podmienok statiky v horizontálnom smere pre dolnú plechovku dostávame \[ N_1\sin\ang{30} = T_1\cos\ang{30} + T_2 \qquad\Implies\qquad N_1\frac{1}{2} = T_1\frac{\sqrt{3}}{2} + T_2 \qquad(3)\] a z podmienky statiky v rotácii \[ T_1 = T_2. \qquad(4)\]

Ak dosadíme rovnicu 3 a 4 do rovnice 1 a upravíme, dostávame \[ T_1 = T_2 = \frac{Mg}{4 + 2\sqrt{3}}. \] Spätným dosadením do rovnice 3 a použitím 4 dostávame \[ N_1 = \frac{1}{2}Mg. \]

Pre najmenšie možné koeficienty trenia \(f_1\) a \(f_2\), musí platiť \(T_1 = f_1N_1\) a \(T_2 = f_2T_2\). Z toho napokon dostávame finálne podmienky pre koeficienty trenia \[ f_1 \geq \frac{1}{2 + \sqrt{3}} \qquad f_2 = \frac{1}{3(2 + \sqrt{3})}. \]

Poznámka 1: Rovnice statiky pre hornú plechovku v x-ovom smere a rotáciu sme nepísali. Zo symetrie na ňu pôsobiacich síl vieme, že by nám nedali žiadnu novú informáciu.

Poznámka 2: Silu medzi spodnými dvoma plechovkami sme neuvažovali, nakoľko dopredu vieme, že bude nulová. Ak by totiž nebola, tak by existovala nenulová vzdialenosť, na ktorú vieme spodné dve plechovky vzdialiť tak, aby ich táto sila vrátila naspäť. Pri vzdialení sa ale zmenší potenciálna energia hornej plechovky, a teda opätovným priblížením by si sústava spontánne zvýšila energiu čo nie je možné.

Poznámka 3: Nevenovali sme sa smerom trecích síl s veľkosťou \(T_1\) a \(T_2\) pôsobiacich na plechovky, hoci ich smery nie sú úplne triviálne. Najjednoduchšie sa dajú určiť z toho, že trenie s veľkosťou \(T_2\) musí smerovať proti smeru prípadného pohybu. Dolná plechovka sa však môže kvôli symetrii začať hýbať jedine smerom von z pyramídy, a teda toto trenie musí smerovať dovnútra pyramídy. Trecia sila \(T_1\) pôsobiaca na spodnú plechovku je jediná ďalšia sila, ktorá pôsobí nejakým momentom na spodnú plechovku a teda musí mať opačný moment sily ako trenie s veľkosťou \(T_2\). Nakoniec trecia sila \(T_1\) pôsobiaca na hornú plechovku musí zo zákonu akcia a reakcie mať opačný smer ako jej náprotivná sila pôsobiaca na spodnú plechovku.

Poznámka 4: Koeficient \(f_1\) sa dá určiť aj z predpokladu, že ak by bol veľmi malý, tak by pyramída spadla spôsobom, v ktorom by sa spodné plechovky rozkotúlali na strany. Aby sa to stalo, moment sily vzhľadom na bod dotyku s podložkou musí roztáčať plechovku smerom von. Moment sily vzhľadom na tento bod majú len \(N_1\) a \(T_1\). V limitnom prípade ich výslednica smeruje k bodu dotyku. To dáva podmienku \(T_1/N_1 = f_1 \geq \tan \ang{15}\).

Poznámka 5 (Marián Kovaľ): Druhý spôsob, ktorým vedia plechovky spadnúť je, že vrchná a spodné plechovky o seba neprešmyknú, ale spodné plechovky prešmyknú o zem. Keď vrchná plechovka klesne o \(\Diff x\), bočné plechovky sa posunú o \(\sqrt{3}\Diff x\) doboku a otočia o \(2\Diff x/R\). Dokopy na zem pôsobí sila \(3Mg\) (nadol), teda dokopy trecia sila vykoná \(3(\sqrt{3} + 2)Mgf_2\Diff x\) pláca. Aby sa energeticky oplatilo plechovke klesnúť o \(\Diff x\) a vykonať tolko práce, musí \(f_2 \geq 1/(3(\sqrt{3} + 2))\).

Vidíme, že úlohu teda rieši poznámka 4 a 5, čím sa dalo vyhnúť riešeniu sústavy rovníc. Vo všeobecnosti je však odporúčaný spôsob pomocou sústavy rovníc, nakoľko je systematickejší a je ťažšie prehliadnuť podstatnú úvahu.