6. Snívanie vzorové riešenie

Najskôr si uzrejmime, čo sa bude diať kvalitatívne. Na voľné teleso pôsobí modifikovaná gravitačná sila. Tá ho začne otáčať. Keďže je teleso voľné a Newtonove zákony sa nezmenili, os otáčania bude prechádzať cez stred hmotnosti. Tu je dôležité si uvedomiť rozdiel medzi stredom hmotnosti a ťažiskom.

Stred hmotnosti je priemer polôh jednotlivých elementov objektu váhovaný ich hmotnosťou. Teda stred hmotnosti sa nezmení zmenením gravitačného zákona.

Ťažisko je taký bod, v ktorom keď podoprieme teleso, tak bude v rovnováhe. Inými slovami, momenty síl, ktorými pôsobia jednotlivé elementy objektu sa navzájom vynulujú.

V našom svete s klasickým gravitačným zákonom a uvažovaním homogénneho gravitačného poľa tieto dva body splývajú, no je dobré mať na pamäti, že nutne nie sú to isté.

Vyskúšajme teraz spraviť naivný výpočet pre teleso B. Najskôr vypočítame hmotný stred. Stačí nám uvažovať len horizontálnu súradnicu kvôli symetrii zvyšných dvoch. Ak dáme počiatok do ľavého hmotného bodu s hmotnosťou \(m_1\), tak hmotný stred bude (kde \(L\) je dĺžka tyče) \[ x = \frac{m_1 \cdot 0 + m_2 \cdot L}{m_1 + m_2} = \frac{m_2}{m_1 + m_2}L. \] Teraz vypočítajme polohu ťažiska \[ m_1^2gy = m_2^2g(L - y) \qquad\Implies\qquad y = \frac{m_2^2}{m_1^2 + m_2^2}L. \]

Máme dva ekvivalentné spôsoby uvažovania. Buď môžeme vypočítať momenty závažia \(m_1\) a \(m_2\) vzhľadom na bod \(x\), alebo môžeme celú hmotnosť telesa dať do ťažiska a vypočítať moment takým spôsobom. Ak budeme vedieť moment, tak uhlové zrýchlenie vypočítame ako \(\epsilon = M/I\), kde \(M\) je moment sily a \(I\) je moment zotrvačnosti.

Prvým prístupom dostávame \[ M = xm_1^2g - (L - x)m_2^2g = \frac{m_2}{m_1 + m_2}m_1^2gL - \frac{m_1}{m_1 + m_2}m_2^2gL. \] Druhým spôsobom dostávame \[ M = (y - x)(m_1 + m_2)^2g = \left(\frac{m_2^2}{m_1^2 + m_2^2} - \frac{m_2}{m_1 + m_2}\right)(m_1^2 + m_2^2 + 2m_1m_2)gL. \] Porovnaním týchto dvoch výsledkov zisťujeme, že sa líšia. Toto je ale zásadný problém. Na rovnaký problém by sme narazili pri výpočte ťažiska kužeľa. Očividne poloha ťažiska (a teda aj momenty síl) je ovplyvnená našou ľubovôľou pri delení telesa. Ak by sme si napríklad povedali, že namiesto hmotného bodu s hmotnosťou \(m_1\) máme v tom bode dva hmotné body s polovičnou hmotnosťou, tak efektívne sa nič nezmenilo, no oba výpočty dajú iný výsledok. Preto vidíme, že nie je problém len vo výpočtoch, ale v samotnom gravitačnom zákone.

Tento problém vieme vystihnúť aj inak. Predstavme si, že máme dve delové gule s hmotnosťou \(m\), každá z nich padá so zrýchlením \(mg\). Ak ich ale spojíme tenučkým lankom, tak sme zrazu vytvorili jeden objekt s hmotnosťou \(2m\), a teda bude padať zrýchlením \(2mg\). Lanko ale môže byť napríklad aj nitka pavučiny a teda systém nemá prečo ovplyvniť (ak by závažia boli napríklad delové gule). To ale znamená, že takýto gravitačný zákon nie je konzistentný sám so sebou. Zistili sme, že ak považujeme Newtonove zákony za správne, tak gravitačný zákon musí lineárne závisieť od hmotnosti. Zaujímavé je, že v tomto prípade sme na vylúčenie iných závislostí nepotrebovali experiment, ale stačili nám úvahy.

Ak by sme chceli zachrániť problém s delením, dalo by sa to tak, že gravitačná sila pôsobiaca na časť hmotnosti telesa \(\FDiff m\) by bola \(m g \FDiff m\), kde \(m\) je hmotnosť celého telesa. Vidíme, že v tomto prípade by súčet všetkých častí naozaj dal \(m^2g\). Môžeme si ale všimnúť, že sila pôsobiaca na časť telesa \(\FDiff m\) je v tomto prípade závislá od hmotnosti celého telesa. Dokonca, ak by dve telesá mali rovnakú časť, tak vo všeobecnosti by na tieto časti pôsobila iná gravitačná sila. Takýto vesmír by teda musel fungovať fundamentálne inak ako náš.