Zadanie

FKSáci sa ešte stále tešia z novej miestnosti, a tak si ju upravujú pre svoje potreby – či už vyrábaním nových skríň, lepších dverí alebo odhlučňovaním od chodby. Pri práci sa ale často zapotia, narobia prach pri pílení alebo smrad z lepidla. Vetrať teda treba často a veľa. Nech má FKS miestnosť tvar kvádra rozmerov \(\SI{6}{\metre} \times \SI{6}{\metre} \times \SI{3}{\metre}\). Dvere majú obsah \(S\) a keď sú otvorené, prúdi cez ne vzduch rýchlosťou \(v\) smerom dnu. Von vychádza dokonale premiešaný vzduch rovnakou rýchlosťou cez balkónové dvere s obsahom \(S\).

Za aký čas sa vymení \(\qty{99}{\percent}\) starého vzduchu (ten sa vyznačuje tým, že v ňom je prach a smrad lepidla) za nový, ak predpokladáme, že vzduch sa okamžite dokonale premieša?

Pri riešení tejto úlohy sa nebojte využiť výpočtový softvér (napríklad Microsoft Excel).

V prvom rade sa chceme ospravedlniť za neuvedenie hodnôt \(S\) a \(v\) v zadaní. Na numerické riešenie (na ktoré zadanie nabáda) boli potrebné a v tomto vzoráku budeme rátať s hodnotami \(S = \SI{2}{\metre\squared}\), \(v = \SI{1}{\metre\per\second}\). Za určenie vlastných hodnôt \(v\) a \(S\) pri riešení neboli strhávané body.

Ak sa pozrieme na malý časový interval \(\Diff t\), tak počas neho vyjde von \(\Diff V = S v \Diff t\) premiešaného vzduchu a nahradí ho rovnaký objem nového vzduchu. Nech máme v miestnosti už \(V_n\) nového vzduchu. Po časovom intervale \(\Diff t\) budeme mať \[ V_n(t + \Diff t) = V_n(t) - \frac{V_n(t)}{V}\Diff V + \Diff V = V_n\left(1 - \frac{V_n(t)}{V}\Diff V\right) + \Diff V \] nového vzduchu. Prvý člen značí objem nového vzduchu na začiatku intervalu, druhý člen značí, koľko nového vzduchu vyjde von dverami a posledný, tretí člen, značí, koľko nového vzduchu príde počas časového intervalu \(\Diff t\). Táto rovnica nám umožňuje iteratívne počítať objem nového vzduchu.

Nastavíme počiatočnú podmienku \(V_n = 0\) a následne iba opakovane počítame nové \(V_n\) dokým \(V_n/V < 99\%\). Popri tom si pri každej iterácii zaznačíme, že sme ju spravili, napríklad tak, že do premennej \(t\) pripočítame \(\Diff t\). Keď bude podmienka splnená, stačí sa už len pozrieť, aká je hodnota \(t\) a to nám určí čas potrebný na vyvetranie miestnosti.

Túto procedúru vie robiť napríklad nižšie uvedený kód v Pythone. Vetrať musíme \(\SI{248.6}{\second} \approx \SI{6}{\minute}\). Ako krok v čase sme v tomto prípade zvolili \(\Diff t = \SI{0.01}{\second}\). Tu však máme celkom veľkú voľnosť výberu. Vo všeobecnosti by sme \(\Diff t\) mali nastaviť tak, aby bol výsledok dostatočne presný. Ak by sme napríklad porovnali výsledok s \(\Diff t = \SI{0.1}{\second}\), tak by sa výsledok líšil o \(\SI{0.16}{\second}\). Ak nám teda stačí presnosť na sekundy, potom je nami zvolený krok \(\Diff t\) očividne postačujúci.

# Nastavenie zadaných konštánt
V = 6*6*3
v = 1
S = 2

# Deklarovanie premenných pre výpočet
dt = 0.001
t = 0
Vn = 0

# Postupné iterovanie dokým nedosiahneme požadovaný pomer
while Vn/V < 0.99:
    Vn = Vn*(V - v*S*dt)/V + v*S*dt
    t += dt

# Vypísanie času vetrania
print(t)

Diskusia

Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.

Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.