3. Upratovanie vzorové riešenie

Zadanie

Katka upratovala vo FKS a počas toho odniekiaľ vyhrabala sviečky. Tie ju zaujali, a tak si jednu zapálila. Keďže sa jej moc nechcelo v upratovaní pokračovať, začala sa so sviečkou zabávať a zobrala tenkú spojku s ohniskovou vzdialenosťou \(f = \qty{20}{\centi\metre}\), ktorú dala do vzdialenosti \(p = \qty{50}{\centi\metre}\) od sviečky. Do akej vzdialenosti \(o\) od spojky má teraz dať tienidlo, aby sa na ňom vytvoril obraz sviečky?

Po chvíli túto vzdialenosť našla a potešil ju obraz planúcej sviečky. Vtom si všimla v miestnosti veľký sklenený hranol dlhý \(\ell = \qty{1}{\metre}\). Neodolala a obohatila oň svoju optickú sústavu tak, ako vidno na obrázku 1. V akej vzdialenosti od šošovky sa vytvorí obraz sviečky teraz?

Pri zobrazovaní predmetov sa obraz vytvorí v takej vzdialenosti, ktorá splní zobrazovaciu rovnicu \[ \frac{1}{p} + \frac{1}{p} = \frac{1}{f}, \] kde \(p\) a \(o\) sú vzdialenosti predmetu a obrazu od šošovky a \(f\) je ohnisková vzdialenosť šošovky. V prípade bez skleneného hranola sa teda obraz vytvorí vo vzdialenosti \[ \left(\frac{1}{\SI{0.2}{\metre}} - \frac{1}{\SI{0.5}{\metre}}\right)^{-1} = \SI[parse-numbers=false]{0.\overline{3}}{\metre}. \]

Teraz sa pozrieme na druhý prípad, keď za šošovku dáme sklenený hranol a tým efektívne zmeníme index lomu za šošovkou. Obraz sa stále vytvorí tam, kde bude splnená zobrazovacia rovnica. Bude to ale v inej vzdialenosti, ako vidíme na obrázku. Vidíme, že nezlomený lúč (prerušovaná čiara) prejde tú istú vertikálnu vzdialenosť \(h\) ako zlomený lúč (plná čiara) na kratšej horizontálnej vzdialenosti. Pre vzdialenosti \(d_1\) a \(d_2\) platí \(\tan\alpha = h/d_1\) a \(\tan\beta = h/d_2\). Odtiaľ dostávame \[ \frac{d_2}{d_1} = \frac{\tan\alpha}{\tan\beta} \approx \frac{\sin\alpha}{\sin\beta} = \frac{n_2}{n_1}, \] kde sme v druhej rovnosti použili priblíženie tangensu pre malé uhly a v tretej rovnosti Snellov zákon lomu.

Ak by bol teda index lomu zmenený na celej časti za šošovkou, obraz by sa nevytvoril vo vzdialenosti \(o = \SI[parse-numbers=false]{0.\overline{3}}{\metre}\) ale vo vzdialenosti \(o' = (n_2/n_1)\SI[parse-numbers=false]{0.\overline{3}}{\metre}\)¹. V našom prípade máme rozhranie vzduch-sklo, takže \(n_1 = 1\) a \(n_2 = 1.5\)². Tým dostávame výsledok \(o' = \SI{0.5}{\metre}\), ak je sklo hneď za šošovkou. V závislosti od toho, ako blízko za šošovku ho Katka dala, sa mohol obraz vytvoriť niekde medzi \(\qtyrange[parse-numbers=false]{0.\overline{3}}{0.5}{\metre}\).