2. Sťahovanie vzorové riešenie

Začnime tým, že si zrátame, akú ťahovú silu dokáže vyvinúť jeden balónik. Na voľný nafúknutý balónik pôsobí tiažová sila \(F_{G}=\left(m_{b} + m_{\ce{He}}\right)g\) smerom nadol a vztlaková sila \(F_{\mathrm{vz}}=V\rho_{a}g\) smerom nahor. \(m_{b}\) je hmotnosť materiálu, z ktorého je balónik vyrobený, \(m_{\ce{He}}\) je hmotnosť plynu vnútri balónika¹, \(g\) je tiažové zrýchlenie, \(V\) je objem celého balónika (a v dobrom priblížení zároveň objem plynu vo vnútri balónika) a \(\rho_{a}\) je hustota vzduchu. Potom ťah, ktorý dokáže vyvinúť jeden balónik je \(T=F_{\mathrm{vz}}-F_{G}\).

Z videa možno usúdiť, že sú použité štandardné balóniky. Na náhodnom e-shope² nájdeme, že hmotnosť jedného balónika je rádovo jednotky gramov a jeho priemer je asi \(\SI{25}{\centi\metre}\).³

Pre dolný odhad počtu balónikov možno predpokladať, že hélium v balónikoch nie je nijako stlačené, a teda je pri štandardnom tlaku a teplote. V takom prípade jeho hustotu možno vyhľadať v tabuľkách (vygoogliť), alebo ju možno dopočítať z konštánt, ktoré poznáme. Vieme, že molárna hmotnosť hélia je približne \(M_{m}\left(\ce{He}\right) = \SI{4}{\gram\per\mole}\) a jeden mol každého plynu zaberá pri normálnych podmienkach objem \(V_{m}=\SI{22.41}{\litre\per\mol}\), preto je hustota hélia \(\rho_{\ce{He}} = \frac{M_{m}(\ce{He})}{V_{m}} \approx \SI{0.18}{\kilo\gram\per\metre\cubed}\), a teda hmotnosť hélia v balóniku je \(m_{\ce{He}}\approx\SI{0.18}{\kilo\gram\per\metre\cubed}\cdot\frac{\pi}{6}\cdot\left(\SI{0.25}{\metre}\right)^{3}\doteq\SI{1.5}{\gram}\).

Teraz už možno vyčísliť ťah jedného balónika \[ T=\left(V\rho_{a}-m_{b}-m_{\ce{He}}\right)g\approx\SI{7.e-2}{\newton}. \]

Aby sme zistili potrebný počet balónikov, potrebujeme ešte odhadnúť tiaž domu. Z videa tentokrát odhadneme rozmery domu. Nech má dom \(\num{4}\) metre v každom rozmere. Modelujme ho ako škatuľu. V takom prípade je jeho povrch zhruba \(6\cdot\left(\SI{4}{\metre}\right)^{2}\cdot\SI{100}{\metre\squared}\). Nech je hrúbka podlahy a nosných stien zhruba \(\SI{20}{\centi\metre}\)⁴ a nech je dom z dreva s hustotou \(\SI{500}{\kilo\gram\per\metre\cubed}\). Potom je tiaž domu \[ G \approx \SI{500}{\kilo\gram\per\metre\cubed} \cdot \SI{100}{\metre\squared} \cdot \SI{0.2}{\metre} \cdot \SI{10}{\newton\per\metre} \doteq \SI{1.e5}{\newton}. \]

Na vyzdvihnutie domu je teda potrebných aspoň \[ N = \frac{G}{T}\approx\num{1.5e6}\textrm{ balónikov.} \]

Na záver sa ešte môžeme pokúsiť posúdiť, či je vo filme zobrazený dostatočný počet balónikov. Z videa možno odhadnúť na základe porovnania s veľkosťou domu, že balóniky sú v hlúčiku, ktorý má priemer zhruba \(\num{20}\) metrov. Do takejto gule sa zmestí, aj s prihliadnutím na nemožnosť dokonale vyplniť celý objem hlúčika balónikmi, zhruba \(\frac{\frac{\pi}{6}\cdot\left(\SI{20}{\metre}\right)^{3}}{\left(\SI{0.25}{\metre}\right)^{3}}\doteq\num{2.68e5}\) balónikov, čo je zhruba \(\num{5.6}\)-krát menej balónikov, ako sme vypočítali, že je potrebné.