7. Weinbergova-Wittenova veta vzorové riešenie

Keď vám práve Hovorca nehučí do hlavy niečo o strunách, vaše ušné bubienky sú v pokoji, a samozrejme sú napínané nejakým napätím. V modeli s pružinkami umiestnenými do kruhu si to vieme predstaviť tak, že každá pružinka ťahá svojím smerom, pričom hmotný bod v strede sa nehýbe.

Pozrime sa na obrázok 1. Pre jednoduchosť v ňom sú znázornené len dve pružiny. V pôvodnej rovnovážnej polohe mali obe dĺžku \(L\), kvôli čomu pôsobili na hmotný bod nejakou silou \(F\), každá opačným smerom. A podľa zadania je výchylka spôsobená nadšeným Hovorcom dostatočne malá na to, aby dĺžka bola stále \(L\), a preto ani veľkosť ťahovej sila \(F\) sa nezmení. Zmenil sa však jej smer. Teraz má na obrázku od zvislej polohy výchylku \(\theta\). Tomu zodpovedá výchylka hmotného bodu \(x = L \sin\theta\), alebo pre malé výchylky \(\theta\) môžeme písať \(x = L \theta\). V smere naspäť do rovnovážnej polohy teda pôsobí jedna pružina na hmotný bod silou \(F_x = -kx\). Dokopy ale pružín máme \(N\), čiže v závislosti od výchylky \(x\) je výsledná sila pôsobiaca na hmotný bod je \(F_x = -Nkx\).

To je prelomový objav, lebo toto už poznáme – je to harmonický oscilátor, lebo sila je priamo úmerná výchylke \(x\). Ak označíme efektívnu tuhosť ušného bubienka \(k_\text{eff.} = Nk\), tak tento harmonický oscilátor kmitá s uhlovou frekvenciou \[ \omega = \sqrt{\frac{k_\text{eff.}}{m}} = \sqrt{\frac{Nk}{m}} \] a s nejakou amplitúdou \(A\), teda výchylka v čase \(t\) je \[ x(t) = A \sin\omega t. \] Ak ju zderivujeme podľa času, dostaneme rýchlosť \[ v(t) = A\omega \sin\omega t. \] Preto je kinetická energia v čase \[ E_\mathrm{k}(t) = \frac{1}{2} m v^2(t) = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \sin^2 \omega t. \]

Treba si uvedomiť, že jej hodnota sa periodicky mení. Preto k výpočtu jej priemernej hodnoty nám stačí sa pozrieť len na jednu periódu. Mohli by sme to robiť tak, že si vyčíslime hodnoty \(E_\mathrm{k}(t)\) pre veľa rôznych po sebe idúcich časov v rámci jednej periódy, tie všetky sčítať, a potom vydeliť počtom hodnôt. Presný výsledok ale dostaneme tak, že namiesto sčítavania veľa hodnôt budeme integrovať \(E_\mathrm{k}(t)\), a namiesto delenia počtom hodnôt budeme deliť dĺžkou periódy. Samotná funkcia \(\sin^2 t\) má periódu rovnú \(\pi\), čiže v našom prípade má \(E_\mathrm{k}(t)\) periódu rovnú \(\pi/\omega\). Takže priemerná kinetická energia je \[ \langle E_\mathrm{k}(t)\rangle = \frac{1}{\pi/\omega} \Int[0][\pi/\omega]{\frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \sin^2 \omega t}{t}. \] Použijeme substitúciu \(\omega t = u\), čiže \(\omega \Diff t = \Diff u\), a hranice integrácie sa zmenia na \((0, \pi)\). Takže \[ \langle E_\mathrm{k}(t)\rangle = \frac{1}{\pi/\omega} \Int[0][\pi]{\frac{1}{2} m A^2 \omega^2 \sin^2 u \cdot \frac{1}{\omega}}{u}. \] Konštanty dáme pred integrál a zostane nám tabuľkový integrál \(\sin^2 u\) od \(0\) do \(\pi\), ktorý je rovný \(\frac{1}{2}\). Preto po zjednodušení výrazu a dosadení za \(\omega\) dostávame výsledok pre priemernú hodnotu kinetickej energie \[ \langle E_\mathrm{k}(t)\rangle = \frac{A^2 Nk}{4}. \]