6. Gaussova-Ostrogradského veta o divergencii vzorové riešenie

V prvom by sme sa chceli ospravedlniť za pomerne neskorú úpravu zadania tejto úlohy. Aj majster tesár sa utne a v tomto prípade sme nezbadali, že zadanie nemusí úplne dávať zmysel tak, ako sme si ho pôvodne predstavili. Za upozornenie ďakujeme iniciatívnym riešiteľom :) Poďme na samotné vzorové riešenie!

Úloha v nás okamžite vzbudí dojem elektrostatiky – ide o situáciu, kde máme nejaké statické rozloženie elektrického náboja. Väčšinu úloh z elektrostatiky dokážeme vyriešiť jedným zákonom – Gaussovým zákonom elektrostatiky (Všimli ste si tento hint v názve úlohy? Viete, ako súvisí Gaussov zákon elektrostatiky s Gaussovou-Ostrogradského integrálnou vetou/vetou o divergencii?). Gaussov zákon elektrostatiky nám hovorí, že ak vezmeme ľubovoľnú uzavretú plochu \(S\), tak potom integrál po tejto ploche z elektrickej intenzity \(\vec{E}\) je rovný náboju vo vnútri našej plochy vydelenému permitivitou prostredia \(\epsilon\). Týchto veľa slov sa matematicky napíše ako \[ \OIIntDV[S][]{E}{S} = \frac{Q_\text{in}}{\epsilon}. \]

Zapamätajme si tento zákon ako poznatok a pozrime sa, čo od nás úloha vlastne vyžaduje a ako sa tento zákon dá použiť. Máme spočítať hrúbku izolácie \(h\) medzi vodičmi v koaxiálnom kábli, ktorá je potrebná aby bolo medzi vodičmi napätie \(U\), a potom ešte ako vyzerá pole \(\vec{E}\) v okolí kábla. Na vnútornom kábli je náboj s dĺžkovou hustotou \(\sigma\), na vonkajšom buď nulový alebo opačný.

Pozrime sa na to napätie. Napätie je rozdiel elektrických potenciálov medzi nejakými dvomi bodmi. Elektrický potenciál v nejakom mieste je zase práca potrebná na prenesenie jednotkového náboja (alebo práca vydelená nábojom) z miesta s nulovým potenciálom do daného miesta. Nulový potenciál si pritom môžeme zvoliť, kde chceme. Štandardne sa volí nekonečne ďaleko, ale napríklad tu je výhodné zvoliť za nulový potenciál povrch vnútorného vodiča. Potom môžeme napätie medzi vodičmi spočítať ako tú prácu hore. Jediný problém je, že naše pole nemusí a ani napokon nebude homogénne. To znamená že pozdĺž našej dráhy sa bude meniť sila \(\vec{F}\) elektrického poľa. Môžeme ale na malinkých kúsočkoch \(\Diff\vec{l}\) považovať silu za konštantnú a počítať podľa vzťahu \(\Diff W = \vec{F}(l) \cdot \Diff\vec{l}\) a napokon sčítať všetky takéto kúsočky aby sme dostali celkovú prácu. Takýto spojitý súčet je vlastne integrál, teda \[ U = \frac{1}{Q}\IntD[r][r + h]{\vec{F}(l)}{\vec{l}} = \IntD[r][r + h]{\vec{E}(l)}{\vec{l}}. \]

Spočítaním tohto integrálu by sme dokázali vyjadriť hodnotu napätia ako funkciu hrúbky izolácie. Čo na to potrebujeme vedieť? Práve hodnotu elektrického poľa kdekoľvek vo vnútri izolácie. Ako ju získame? Samozrejme, z Gaussovho zákona.

Ak si teraz poviete “Hovorca, no super, musím teraz rátať nie jeden ale hneď dva grcné integrály…” treba nezúfať. Spomeňme si na ten Gaussov zákon. \[ \OIIntDV[S][]{E}{S} = \frac{Q_\text{in}}{\epsilon}. \] Vyzerá to nepekne, ale zachráni nás, že naša úloha je veľmi symetrická. To nám dovolí si našu plochu \(S\) zvoliť veľmi rozumne tak, aby sme sa vyhli skalárnemu súčinu aj celému integrovaniu. Zvolíme si ju totiž v tvare povrchu valca pekne obopínajúceho náš vnútorný vodič. Nech má náš valec výšku \(d\) a polomer podstavy \(\rho\). Ak sa zamyslíme, už zo symetrie úlohy vidíme, že čo sa podstáv týka, ich príspevok do integrálu bude nulový, lebo pole v okolí nášho kábla kvôli symetrii bude iba radiálne od kábla. A čo na zvyšku plášťa? Tam zase zo symetrie bude pole \(\vec{E}(\rho)\) v každom bode rovnaké, a ešte k tomu má smer kolmý na plášť valca (radiálny), takže ani skalárny súčin nič neznamená a môžeme len jednoducho napísať \[ E(\rho)\OIIntI[\text{plášť}][]{}{S} = \frac{Q_\text{in}}{\epsilon}. \]

Tento integrál vlastne počíta plochu plášťa valca, čo je v našom prípade \(2\pi\rho d\) a tak dostaneme, prepísané cez veličiny zo zadania \[ E(\rho) = \frac{Q_\text{in}}{2\pi \rho d \epsilon} = \frac{\sigma d}{2\pi\rho d \epsilon_0\epsilon_\mathrm{r}} = \frac{\sigma}{2\pi\rho\epsilon_0\epsilon_\mathrm{r}}, \] čo nás celkom teší, lebo výšku valca \(d\) sme si zvolili dosť náhodne a teraz vypadla. Je dobré poznamenať, že zatiaľ pracujeme len s poľom “vo vnútri” izolácie, takže náboj (ak nejaký je) na vonkajšom vodiči si podľa Gaussovho zákona nezahrá. Teraz už vieme hodnotu poľa kdekoľvek vnútri izolácie.

Nepríjemná časť: zistiť samotné napätie. Môžeme spočítať integrál \[ U = \IntD[r][r + h]{\vec{E}(\rho)}{\vec{\rho}} = \Int[r][r + h]{\frac{\sigma}{2\pi\rho\epsilon_0\epsilon_\mathrm{r}}}{\rho} = \frac{\sigma}{2\pi\epsilon_0\epsilon_\mathrm{r}}\Int[r][r + h]{\frac{1}{\rho}}{\rho}. \]

Tento integrál nie je extrémne náročný, patrí do rodiny tzv. tabuľkových a všelikde by ste ho našli ako úplne vzorový príklad. Riešením je \[ U(h) = \frac{\sigma}{2\pi\epsilon_0\epsilon_\mathrm{r}}\ln{\frac{r + h}{r}}. \]

Ak chceme vedieť hrúbku potrebnú na dosiahnutie konkrétneho napätia \(U\), vzťah musíme obrátiť, dostaneme \[ h = r(\mathrm{e}^{\frac{2\pi\epsilon_0\epsilon_\mathrm{r}}{\sigma}U} - 1). \]

Čo by sa zmenilo, ak by vonkajší vodič mal náboj s opačnou dĺžkovou hustotou ako vnútorný vodič? Úplne nič, nakoľko sme počítali iba s poľom vnútri izolácie a toto podľa Gaussovho zákona nie je ovplyvnené nábojmi mimo izolácie (toto je potrebné poriadne si premyslieť a pochopiť!).

Druhá otázka, ktorú sme dostali, je zistiť, ako vyzerá pole v okolí kábla. Ak vonkajší vodič kábla nie je nabitý, tak vzťah, ktorý sme použili na zistenie elektrického poľa v okolí vnútorného vodiča platí aj mimo kábla (nepridali sme nikam žiadny náboj), treba si ale dať pozor na permitivitu prostredia, ktorá je v okolí vodiča iná. Pole bude radiálne, s veľkosťou \[ E(\rho) = \frac{\sigma}{2\pi\rho\epsilon_0}. \]

Čo v prípade, že vonkajší vodič je nabitý presne naopak ako vnútorný? Opäť sa utiekame ku Gaussovmu zákonu, \[ \OIIntDV[S][]{E}{S} = \frac{Q_\text{in}}{\epsilon}. \]

Opäť si myslime valec súbežný s káblom. Náboj v ňom uzavretý je teraz spolu \(0\), čo ale znamená, že (rovnakou úvahou ako vo vnútri izolácie) je pole v ľubovoľnej vzdialenosti (pri ľubovoľnom polomere mysleného valca) tiež nulové.