5. Veta o pevnom bode vzorové riešenie

Celé riešenie budeme formulovať vo vzťažnej sústave spojenej s lietadlom. Táto vzťažná sústava v obidvoch prípadoch zrýchľuje, čo znamená, že na telesá v nej pôsobí zotrvačná sila proti smeru zrýchlenia s veľkosťou \(F_\mathrm{z} = ma\), kde \(m\) je hmotnosť objektu a \(a\) je zrýchlenie lietadla.

Ako prvé sa pozrime na rozbeh po dráhe, keď je podlaha lietadla ešte rovnobežne so zemou. Vieme, že na zavesený hmotný bod (kyvadlo) pôsobia tri sily. Gravitačná \(F_\mathrm{g}\) smerujúca dole, zotrvačná \(F_\mathrm{z}\) smerujúca kolmo na gravitačnú, a sila od lanka \(T\) smerujúca v smere lanka. Keďže kyvadlo nezrýchľuje¹, tieto sily musia dať nulovú výslednicu. Inými slovami, tvoria pravouhlý trojuholník, kde \(T\) je prepona. Vieme, že medzi \(T\) a \(F_\mathrm{g}\) je uhol \(\ang{15}\). To znamená, že zotrvačnú silu a tým aj zrýchlenie lietadla vieme vyrátať ako \[ F_\mathrm{z} = F_\mathrm{g}\tan\ang{15} \Implies a = g\tan\ang{15} \doteq \SI{2.6}{\metre\per\second\squared}. \]

V druhej časti úlohy (stále riešenej vo vzťažnej sústave lietadla) je komplikácia, že nevieme, ktorým smerom pôsobí gravitačná sila, no vieme jej veľkosť. O zotrvačnej nevieme veľkosť, ale vieme, že je rovnobežná s palubou lietadla.

Ak sa budeme pozerať ďalej na kyvadlo, tak jeho smer nám bude ukazovať výslednicu gravitačnej a zotrvačnej sily. Povedzme, že by sme vedeli aj veľkosť \(F\) tejto výslednice. Do obrázka 1 sme zakreslili informácie, ktoré vieme. Kružnica značí všetky možné body, kam môžeme nakresliť koniec šípky² reprezentujúci gravitačnú silu a prerušovaná čiara značí smer zotrvačnej sily. Z obrázka vidíme, že máme len dve možnosti (zelenú a červenú), ako zvoliť smer a veľkosť týchto síl, aby sme dostali správnu výslednicu.

Vieme vybrať z týchto dvoch prípadov? Komerčné lietadlá štandardne nemajú závratné zrýchlenia, lebo je to neekonomické. To znamená, že gravitačná sila bude stále tá dominantná, a teda môžeme prehlásiť, že realite bude zodpovedať zelený prípad. Ak by však Marek bol na palube stíhačky, nevedeli by sme zrýchlenie určiť jednoznačne.

Náš postup sme teda zredukovali na odmeranie smeru a veľkosti výslednice a následnú geometriu, konkrétne kosínusovú vetu³. Ako by sme vedeli zmerať rýchlosť? Pomôže nám opäť kyvadlo. Vieme, že perióda malých kmitov kyvadla je \(T = 2\pi\sqrt{l/\widetilde{g}}\)⁴. Ak teda odmeriame dĺžku závesu a periódu, vieme vypočítať \(\widetilde{g}\). Tým sme získali už aj veľkosť výslednice \(\widetilde{g}m\) a máme kompletný postup, ako by sme zistili zrýchlenie.

Už len na záver doplňme, že pomocou kosínusovej vety by sme \(a\) vyjadrili ako \[ a = \widetilde{g}\cos\alpha - \sqrt{\widetilde{g}^2\cos^2\alpha + g^2 - \widetilde{g}^2}, \] kde \(\alpha\) je uhol medzi výslednicou gravitačnej a zotrvačnej sily a podlahou lietadla. Pri riešení kvadratickej rovnice sme zobrali mínus, lebo to zodpovedá zelenému prípadu.