4. Picardova veta o existencii a jednoznačnosti riešenia vzorové riešenie

Ako prvé si musíme uvedomiť princíp, ktorým je raketa poháňaná. Zatiaľ čo auto sa pohybuje vďaka trecej sile medzi pneumatikami a asfaltom, raketa takúto možnosť nemá (keďže medzi planétami zatiaľ nemáme postavené diaľnice). Ako sa teda raketa pohybuje? Objasníme si to na jednoduchom myšlienkovom experimente.

Predstavme si, že pozorujeme človeka, ktorý stojí na dokonalo hladkej ploche (napríklad na zamrznutom jazere) a dokáže sa po ňom pohybovať v podstate bez trenia. Do ruky zoberie ťažký kameň a veľmi silno ho hodí vodorovne pred seba. Stanú sa dve veci – kameň odletí v smere vrhu a dopadne na zem, a zároveň sa človek začne voči nám pohybovať, a to opačným smerom ako kameň. Ako rýchlo sa však bude hýbať človek? Odpoveď nájdeme pomocou druhého Newtonovho zákona \[ F = \Drv{p}{t}. \qquad(1)\]

V prípade, že na sústavu človek + kameň nebudú pôsobiť vonkajšie sily (gravitáciu zanedbáme, keďže nepôsobí v smere pohybu), bude v danej sústave platiť zákon zachovania hybnosti. Pred hodením sa človek s kameňom voči nám nehýbal, preto musí byť aj po hode celková hybnosť sústavy nulová. To znamená, že akúkoľvek hybnosť nadobudol kameň, človek musel nadobudnúť rovnako veľkú hybnosť, ale v opačnom smere (keďže vieme, že hybnosť je vektorová veličina a sčítaním dvoch opačných, rovnako veľkých vektorov získame nulový vektor).

Na rovnakom princípe “odvrhávania” paliva sa pohybujú rakety. Kľúčová myšlienka spočíva v tom, že hmotnosť rakety (presnejšie sústavy raketa + neodvrhnuté palivo) nie je konštantná. Zároveň je nutné dodať, že zákon zachovania hybnosti platí podľa 1 iba v prípade, že na sústavu nepôsobia ďalšie sily, napr. gravitačná. Ak sa teda raketa nachádza v nezanedbateľnej blízkosti planéty alebo hviezdy, musíme zohľadniť aj pôsobiacu gravitačnú silu.

Keďže už rozumieme situácii, ktorú modelujeme, je čas matematizovať. Uvažujme raketu v čase \(t_0\) s celkovou hmotnosťou \(m_0\) (teda raketa aj palivo) a rýchlosťou \(v_0\). Celková hybnosť tejto sústavy tak je \(p_0 = m_0 v_0\).

Teraz si predstavme, čo sa stane v čase \(t_1 = t_0 + \Diff t\) (ak nepoznáte symbol \(\Diff\), nahraďte si ho symbolom \(\FDiff\)). Raketa odvrhne malý kúsok paliva hmotnosti \(\Diff m\) rýchlosťou \(v_p\) vzhľadom k inerciálnemu pozorovateľovi. Tento kúsok paliva tak nadobudne hybnosť \(\Diff p_p = v_p \Diff m\). Dôsledkom toho sa musí zmeniť aj hybnosť sústavy raketa + neodvrhnuté palivo. Rýchlosť voči inerciálnemu pozorovateľovi sa zvýši o \(\Diff v\), hmotnosť rakety a neodvrhnutého paliva klesne o \(\Diff m\). Hybnosť v čase \(t_1\) tak bude \[ p(t_1) = (m - \Diff m)(v + \Diff v). \qquad(2)\] Celková bilancia hybnosti v čase \(t_1\) tak bude \[ p(t_1) = m_0 v_0 + m_0 \Diff v - v_0 \Diff m - \Diff m \Diff v + v_p \Diff m. \qquad(3)\]

Poznáme však rýchlosť výtoku plynov \(v_r\) vzhľadom k rakete. Ľahko si rozmyslíme, že rýchlosti spolu súvisia vzťahom \[ v_r = v_p - v. \qquad(4)\]

Túto skutočnosť dosadíme do rovnice 3. Následnými úpravami a zanedbaním člena \(\Diff m \Diff v\) (súčin dvoch veľmi malých čísel) dostávame \[ p(t_1) - p_0 = \Diff p = m_0 \Diff v + v_r \Diff m. \qquad(5)\]

Podľa druhého Newtonovho zákona musí byť \(\Diff p/\Diff t = F\), kde \(F\) vonkajšia sila pôsobiaca na sústavu (napr. gravitačná, ak je raketa v blízkosti vesmírneho telesa). Ak teda obe strany rovnice 5 ešte vydelíme diferenciálom času, dostávame diferenciálnu rovnicu pre rýchlosť rakety v tvare \[ m(t) \Drv{v}{t} = F - v_r \Drv{m}{t}. \qquad(6)\]

Táto rovnica sa nazýva rovnica Meščerského a jej riešením vieme nájsť časovú závislosť rýchlosti rakety. Následnou druhou integráciou vieme zistiť časovú závislosť výšky. Než pristúpime k riešeniu, všimnime si, že v rovnici nevystupuje rýchlosť rakety. Taktiež vidíme, že \(v_r\) aj \(\mu = \Diff m/\Diff t\) poznáme.

Ak by sme teraz dosadili za \(F\) z Newtonovho gravitačného zákona, dostali by sme pomerne zložitú diferenciálnu rovnicu, ktorú však vieme riešiť numericky. Raketa, ktorú uvažujeme, je ale pomerne malá (podľa zadania má \(\num{4.1}\) tony, zatiaľ čo rakety používané NASA majú okolo 60 až 100 ton), pravdepodobne sa tak bude pohybovať v blízkosti povrchu Zeme. Preto môžeme predpokladať, že intenzita gravitačného poľa bude počas letu rakety konštantná a rovná tiažovému zrýchleniu pri povrchu. Len pre overenie, ak predpokladáme, že raketa vyletí do výšky $h_f = \(\SI{300}{\kilo\metre}\), je hodnota výrazu \((R + h)^2/R^2 = \num{1.1}\), teda odchýlka od skutočného tiažového zrýchlenia bude najviac 10 percent zrýchlenia na Zemi (čo je ale teda hraničné).

Môžeme tak dosadiť \(F = m(t) g\), následne vydeliť \(m(t)\) a dosadiť zaň \(m(t) = m_0 - \mu t\), čím dostávame \[ \Drv{v}{t} = -g + \frac{v_r \mu}{m_0 - \mu t}. \qquad(7)\]

Toto je diferenciálna rovnica, ktorá nám prezradí časový priebeh rýchlosti rakety, z ktorého vieme následne určiť výšku výstupu. Možno ju riešiť buď analyticky, alebo numericky tzv. Eulerovou metódou. Nasleduje ukážka analytického riešenia, numerické riešenie sa nachádza nižšie.

Obe strany rovnice môžeme intergrovať podľa času od 0 do \(t_1\), čím dostávame \[ v(t_1) - v_0 = -gt_1 + v_r\ln\left(\frac{m_0}{m_0 - \mu t_1}\right). \qquad(8)\]

Našej pozornosti nesmie uniknúť, že sa jedná o (modifikovanú) Ciolkovského rovnicu (ak by sme neuvažovali tiažové pole Zeme). Keďže raketa štartovala v pokoji, je \(v(0) = 0\). Opätovnou integráciou od 0 po \(t_2\) a uvážení, že v čase \(t = 0\) bola raketa v nulovej výške, dostávame rovnicu \[ h(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + \frac{v_r m_0}{\mu}\left(\frac{m_0 - \mu t}{m_0}\left(\ln\frac{m_0 - \mu t}{m_0} - 1\right) + 1\right). \qquad(9)\]

Maximálna doba letu bude daná množstvom paliva a mierou \(\mu\), ktorou je spaľované. Ak by sme napríklad predpokladali, že \(m_p = \SI{4}{\tonne}\) z pôvodných \(\SI{4.1}{\tonne}\) tvorilo palivo (približne takýto pomer paliva a hmotnosti konštrukcie má Falcon 9), maximálny čas výstupu by sme vypočítali vzťahom \[ t_{\mathrm{max}} = \frac{m_p}{\mu}. \] Číselne dostávame \(t_{\mathrm{max}} = \SI{250}{\second}\). Tento čas dosadíme do vzťahu 9, čím dostávame, že v 250-tej sekunde vystúpa raketa do výšky približne \(\SI{260}{\kilo\metre}\) nad zemským povrchom.

Numerické riešenie Eulerovou metódou spočíva v tzv. diskretizácii krokov, t. j. nekonečne malé diferenciály si nahradíme konečne veľkými (ale stále dosť malými) zmenami hodnôt. Písmenká \(\Diff\) tak nahradíme \(\FDiff\). Keďže je ale rovnica 7 tzv. diferenciálnou rovnicou druhého rádu, musíme ju “riešiť dvakrát” – prvým riešením dostaneme časovú závislosť rýchlosti, pri druhom riešení dostaneme časovú závislosť výšky. Tieto dve rovnice budú vyzerať ako \[ \begin{aligned} \FDiff v &= (-g + \frac{v_r \mu}{m_0 - \mu t})\FDiff t, \\ \FDiff h &= v\FDiff t. \end{aligned} \qquad(10)\]

Tieto rovnice stačí prepísať do vášho obľúbeného programovacieho jazyka a máte hotovo. Pri Eulerovej metóde je potrebné voliť malý časový krok, keďže má tendenciu sa rýchlo odchyľovať od skutočného riešenia.

Na grafe nižšie sa nachádza porovnanie numerických riešení s presným a približným tiažovým zrýchlením a analytického riešenia s približným tiažovým zrýchlením.

Vidíme, že všetkými tromi metódami sme dospeli k (približne) rovnakému riešeniu. Podľa numerického riešenia s približným tiažovým zrýchlením a aj podľa analytického doletí raketa do výšky \(\SI{260}{\kilo\metre}\), drobná odchýlka je daná len nepresnosťou numerickej metódy. Podľa numerického riešenia s presným tiažovým zrýchlením doletí raketa do výšky približne \(\SI{264}{\kilo\metre}\), čo je v súlade s očakávním, keďže gravitačné zrýchlenie na povrchu Zeme je horným odhadom intenzity gravitačného poľa počas celého letu rakety.