Zadanie
Stano sa zapojil do prerátavania úloh na tohtoročný Fyzikálny náboj. Po hodine a päťdesiatich minútach už bol na konci svojich síl. Chcel ale do konca ešte vyrátať aspoň túto úlohu:
Záhradník Braňo polieval trávnik. Všimol si, že keď drží ústie hadice nízko nad zemou, prúd vody vytvorí oblúk vysoký \(H\) a dopadajúci vo vzdialenosti \(L\). Akou rýchlosťou vychádzala voda z ústia hadice? Odpor vzduchu neuvažujte.
Za minútu niečo načarbal na papier a dostal výsledok. Bežal ho odovzdať, no nemal to správne. Tak niečo opravil a znova bežal odovzdať. Bohužiaľ to bolo stále zle. Po niekoľkých ďalších pokusoch už mal papier celý popísaný zlými výsledkami. Vtom mu to konečne docvaklo a už si bol istý, že to má správne. Napísal výsledok na zadanie a bežal ku opravovateľom. Kým tam ale dobehol, zabudol ktorý z výsledkov na papieri má byť ten správny. Na papieri mal tieto výsledky:
- \(v = \sqrt{\frac{gL^2}{H-L} + 2gH}\)
- \(v = \sqrt{2gH}\)
- \(v = \sqrt{\frac{gH^2}{L} + 2gL}\)
- \(v = \sqrt{\frac{g (L + H)^2}{H} + gH}\)
- \(v = \sqrt{2gH - \frac{gL^2}{H}}\)
- \(v = \sqrt{\frac{gL^2}{H} + 2gH}\)
- \(v = \sqrt{\frac{gL^2}{H} + 3gH}\)
- \(v = \frac{gL^2}{H} + 3gH\)
- \(v = \sqrt{\frac{g(L - H)^2}{H} + gH}\)
- \(v = \frac{gL^2}{H-L} + 2gH\)
Zistite, ktorý z výsledkov môže byť správny, bez toho, aby ste samotný príklad vypočítali.
Na začiatku nám môže rovno udrieť do očí, že nie vo všetkých výsledkoch sedia fyzikálne jednotky. Takto môžeme rovno odstrániť výsledky 8. a 10., v oboch prípadoch po dosadení jednotiek dostaneme \(\frac{m^2}{s^2}\), čo určite nie je jednotka rýchlosti.
Všimnime si, že druhý výsledok je nezávislý od \(L\). Keď si porovnáme situáciu, kde \(L = 0\) s ľubovoľnou situáciou, kde \(L\) je nenulové, rozhodne rýchlosť nemôže byť rovnaká. Pre \(L = 0\) potrebujeme nejakú vertikálnu rýchlosť \(v_y\) a nulovú horizontálnu rýchlosť. Pre nenulové \(L\) už ale potrebujeme aj nejakú horizontálnu rýchlosť \(v_x\), čiže celková rýchlosť bude \(v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\). Druhý výsledok teda správny nie je, lebo by nám dával rovnakú rýchlosť v oboch týchto prípadoch.
Logicky dáva zmysel, že čím je väčšie \(L\), tým vyššiu rýchlosť potrebujeme. \(H\) v takomto prípade zostane rovnaké, čiže sa bude meniť len horizontálna zložka rýchlosti, a teda celková rýchlosť bude ovplyvnená len ňou. Z tejto úvahy vyplýva, že výsledok 5. správny nie je, keďže sa \(L\) vyskytuje len v člene, ktorý odčítavame, takže rýchlosť je menšia, ak je \(L\) väčšie.
Ďalej sa pozrime na nejaké okrajové prípady. Ak by sa \(H = L\), čo je situácia, ktorá môže nastať, v prvom výsledku by sme delili nulou, čiže rýchlosť by vychádzala nekonečná. Preto môžeme odstrániť aj túto možnosť.
V prípade, že by hadica bola kolmo na zem, vzdialenosť \(L\) by bola nulová. Keď do výsledkov dosadíme \(L = 0\), v treťom výsledku by sme delili nulou, čiže rýchlosť by bola tiež nekonečná.
Ďalšia situácia, ktorá môže nastať je hádzanie dozadu, teda do vzdialenosti \(-L\). Pre túto vzdialenosť samozrejme očakávame rovnakú veľkosť rýchlosti ako pre \(L\). Po dosadení do zvyšných výsledkov vieme vylúčiť výsledky 4. a 9., pri ktorých dostaneme inú rýchlosť pre záporné \(L\).
Posledné dva výsledky – 6. a 7. – sa líšia len v koeficiente pri druhom člene v odmocnine. Ak si znovu predstavíme situáciu, kde \(L = 0\), teda zvislý vrh, dostaneme \(\sqrt{2gH}\) a \(\sqrt{3gH}\). Zo zákona zachovania energie (kinetická energia sa zmení na potenciálnu) vieme jednoducho odvodiť, že v tomto prípade rýchlosť musí byť \(\sqrt{2gH}\), takže výsledok 7. bude určite nesprávny.
Takto nám ostal len výsledok 6., ktorý spĺňa všetky okrajové prípady a rozmerovo sedí, a teda by mohol byť riešením úlohy.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.