2. Noetherovej veta vzorové riešenie

Zadanie

Marek sa na fakulte hrabal v skriniach so starými prístrojmi a našiel predpotopný stroboskop. Keďže to má v povahe, okamžite ho aj musel vyskúšať. Zobral ho teda do FKS a zhotovil stroboskopickú fotografiu zrážky dvoch rovnakých gulí, presne takú, aká je na obrázku 1. Hrdý na svoj experiment, ukázal fotku Jarovi so zákernou otázkou: “Ako prebiehala zrážka? Odkiaľ gule prišli a kam odišli?”. Jaro po chvíľke uvažovania samozrejme odpoveď vedel. Poriadne vysvetlite, ako na to mohol prísť a čo Marekovi odpovedal – ktoré z gúľ označených \(1\) až \(4\) sú počiatočné a konečné polohy jednotlivých gúľ?

Ako prvé si všimnime, že na základe stroboskopickej fotky vieme, že jedna guľa sa celý čas nachádzala v hornej a druhá v dolnej polrovine. To vidíme z toho, že samotná zrážka je zachytená na jednej z fotiek. Zodpovedá jej konkrétne tretia pozícia gúľ zľava.

Stačí nám teda riešiť, či išli guľe zľava doprava, sprava doľava, alebo každá rôzne. Vieme, že na ľavej strane obrázka mali obe gule väčšiu rýchlosť a teda aj energiu. Z obrázka navyše vyzerá, že obe gule mali vpravo aj vľavo rovnakú energiu. Z toho vieme rovno usúdiť, že nemohli obe štartovať vpravo (pozície 2 a 3), lebo by zrazu po zrážke mali dokopy väčšiu energiu. Ak neuvažujeme ideálnu zrážku, tak gule nemohli štartovať ani v diagonálnych pozíciách, lebo by sa energia pri zrážke zachovala dokonale, čo sa v reálnom svete moc nemá ako stať. V takom prípade dostávame jedinú možnosť, gule štartovali v pozíciách 1 a 4 a skončili v pozíciách 2 a 3.

Poďme si overiť, či by pri takejto zrážke platil zákon zachovania hybnosti (ak by neplatil, nebola by totiž možným riešením). Keďže hmotnosti oboch gúľ sú rovnaké, pri porovnávaní hybnosti sa stačí zamerať na ich rýchlosti (lebo \(p = mv\)). Rozdeľme si ich na zvislé a vodorovné zložky. Vidíme, že zvislé zložky pred aj po zrážke sú rovnako veľké, no smerujú opačnými smermi. Celková hybnosť v zvislom smere je preto pred aj po zrážke 0, teda sa nezmenila. Vo vodorovnom smere pozorujeme, že žiadna z gúľ nezmenila rýchlosť – teda aj vo vodorovnom smere sa hybnosť zachovala. Teda gule mohli štartovať v pozíciách 1 a 4 a skončiť v pozíciách 2 a 3.

Ak by sme (napriek konfliktom s reálnym svetom) išli uvažovať aj dokonale pružnú zrážku, nemohli by sme vylúčiť ani diagonálne počiatočné pozície – také, kde gule prejdú z 1 a 3 do 2 a 4 (alebo z 2 a 4 do 1 a 3). Poďme opäť skontrolovať, či by pri týchto rozostaveniach platil zákon zachovania hybnosti. Všimnime si, že tentokrát je pred aj po zrážke nulová vodorovná zložka hybnosti, lebo gule išli oproti sebe s rovnakou vodorovnou rýchlosťou. Rýchlosti v zvislom smere už sú rôzne, no celková hybnosť systému v tomto smere sa tiež zachovala – aj pred aj po zrážke má veľkosť rýchlejšej zvislej rýchlosti mínus pomalšej zvislej rýchlosti, a to či už smerom nadol (ak gule začínali v 1 a 3) alebo smerom nadol (ak gule začínali v 2 a 4). Teda ak uvažujeme, že mohla nastať aj dokonale pružná zrážka, jej riešením môžu byť aj tieto diagonálne počiatočné pozície.