6. Pimp my ride vzorové riešenie

Namiesto toho, aby sme sa hneď pustili do bezhlavého počítania, zamyslime sa najskôr nad tým, čo všetko potrebujeme počítať a čo máme očakávať.

Na prvý pohľad sa môže zdať, že máme riešiť tri úlohy. To však nie je pravda. V skutočnosti riešime len jednu úlohu v troch rôznych vzťažných sústavách. No a keďže je to tá istá úloha, vo všetkých troch častiach máme očakávať rovnaké výsledky. Predsa to, aké preťaženie cestujúci cíti, nemôže závisieť od toho, kto sa naňho pozerá. Ak cestujúci v dôsledku nadmerného preťaženia hodil šabľu, tak to bude vidieť každý bez ohľadu na vzťažnú sústavu, z ktorej sa pozerá. Preto aj preťaženie pocítené cestujúcim počítané v rôznych vzťažných sústavách musí byť rovnaké. Preto ak ste v jednotlivých častiach tejto úlohy odovzdali rôzne výsledky, zrejme ste sa poriadne nad úlohou nezamysleli.

Takže už vieme, že máme vypočítať jedno preťaženie tromi rôznymi spôsobmi. Lenže čo to vlastne to preťaženie je? Mohli by sme povedať, že je to to, čo cítime, keď na nás pôsobia vonkajšie sily. A nech je táto definícia akokoľvek presná, nepovie nám veľa o tom, čo máme počítať. Tak to skúsme inak. Preťaženie je zrýchlenie nášho tela v dôsledku kontaktných síl vyjadrené v násobkoch tiažového zrýchlenia. Dobre, toto je už niečo, s čím sa dá pracovať. Čo je zrýchlenie, vieme; čo je tiažové zrýchlenie, vieme; ale čo sú kontaktné sily?

Vo všeobecnosti možno sily rozdeliť na dva typy – povrchové (kontaktné) a objemové. Objemové sily sú také, ktoré pôsobia na každý kúsok daného telesa. Príkladom je napríklad gravitácia alebo neinerciálne sily. Gravitácia priťahuje každý kúsok telesa nejakou malou silou a výsledná sila je súčtom týchto malých síl, ktorými sú priťahované jednotlivé kúsky telesa. Podobne napríklad odstredivá sila či iné neinerciálne sily pôsobia na každý kúsok telesa a výsledná sila je súčtom príspevkov od jednotlivých kúskov. Súčet týchto príspevkov má rovnaký pohybový účinok na teleso, ako keby celá objemová sila pôsobila v jeho ťažisku, preto ich zakresľujeme práve do ťažiska. Na druhej strane, povrchové (kontaktné) sily sú také, ktoré, ako už názov napovedá, sa prenášajú kontaktným silovým pôsobením cez povrch telesa. Keď položíme teleso na stôl, tak cezeň neprepadne nadol, pretože stôl naň pôsobí silou smerom nahor. Táto sila nepôsobí v ťažisku, ale v mieste kontaktu. Iným príkladom kontaktných síl je napríklad trenie.

V súlade s našou definíciou, ak si teleso hovie na stole, pociťuje preťaženie \(\SI{1}{\gforce}\). Ale nie je to kvôli tiažovej sile. Teleso je na stole v pokoji, preto ak naň pôsobí tiažová sila \(mg\) nadol, pôsobí stôl rovnako veľkou silou nahor. Tiažová sila je objemovou silou, preto podľa našej definície nespôsobuje preťaženie. Sila od stola je však kontaktnou silou, preto spôsobuje preťaženie \(\frac{mg}{m} = \SI{1}{\gforce}\) smerom nahor.

Niekto by sa mohol pýtať, že prečo uvažujem len kontaktné sily a ignorujem objemové. Zrejme nikto nebude namietať, keď priradím nulové preťaženie takej situácii, keď na mňa nepôsobia žiadne sily – napríklad keď sa vznášam v prázdnom vesmíre. No teraz si predstavte, že môj vesmír nie je úplne prázdny, ale nachádza sa v ňom čierna diera. Čierna diera nevyžaruje ani neodráža svetlo, takže ju nemôžem vidieť. Pôsobí na mňa však gravitačne, takže ja sa pohybujem rovnomerne zrýchleným pohybom¹. Lenže keďže v prázdnom vesmíre nič nevidím, ani sa ničoho nedotýkam, tak neviem, že zrýchľujem. Pre mňa je to pocitovo rovnaká situácia, ako keby vesmír bol úplne prázdny². Iná situácia – ak sa ocitnem v padajúcom výťahu, tak môžem cítiť strach, no nie preťaženie³.

Čo to znamená pre nášho cestujúceho v magleve T3000? Pôsobí naňho tiažová (t. j. gravitačná plus odstredivá) sila, ďalej v závislosti od vzťažnej sústavy prípadné neinerciálne sily – no obe tieto sú objemovými silami, preto nespôsobujú preťaženie – a sila od sedačky a bezpečnostného pásu, ktoré držia cestujúceho na jeho mieste. Jedine posledná menovaná sila je kontaktnou silou, preto na určenie preťaženia potrebujeme počítaj práve ju⁴.

Po tomto úvode môžeme pristúpiť k počítaniu. Uvažujme guľatú Zem s hmotnosťou \(M\) a polomerom \(R\) rotujúcu uhlovou rýchlosťou \(\varOmega\). Ďalej uvažujme maglev premávajúci po rovnobežke na košírke⁵ \(\vartheta\) rýchlosťou \(\pm v\)⁶ a cestujúceho vovnútri s hmotnosťou \(m\). Pre cestujúceho možno písať nezávisle na vzťažnej sústave pohybovú rovnicu \[ m\vec{a} = \vec{F}, \qquad{(1)}\] kde \(\vec{a}\) je zrýchlenie cestujúceho v danej vzťažnej sústave a \(\vec{F}\) je výsledná sila pôsobiaca na cestujúceho v tejto vzťažnej sústave.

Prvý prípad je najjednoduchší. Nachádzame sa v inerciálnej vzťažnej sústave. Vidíme, že cestujúci vykonáva pohyb po kružnici (rovnobežke) s polomerom \(r = R\sin\vartheta\) rýchlosťou \(w = \varOmega r \pm v\), preto pozorujeme, že má dostredivé zrýchlenie \[ a_d = \frac{w^2}{r} = \frac{\left(\varOmega R\sin\vartheta \pm v\right)^2}{R\sin\vartheta}. \qquad{(2)}\] Na cestujúceho pôsobia len inerciálne sily – gravitačná sila \[ F_g = \varkappa\frac{mM}{R^2} \qquad{(3)}\] smerom do stredu Zeme a kontaktná sila od sedačky \(F_k\), ktorú si rozdelíme na radiálnu zložku v zmysle cylindrických súradníc, t. j. zložku \(F_r\) ležiacu v rovine rovnobežky, a zložku \(F_z\) kolmú na túto rovinu, teda rovnobežnú so zemskou osou⁷. Uvedené sily a zrýchlenie dosadíme do (1) a rozpíšeme po zložkách: \[ \begin{aligned} m\frac{\left(\varOmega R\sin\vartheta\pm v\right)^2}{R\sin\vartheta} &= \varkappa\frac{mM}{R^2}\sin\vartheta - F_r; \\ 0 &= \varkappa\frac{mM}{R^2}\cos\vartheta - F_z. \end{aligned} \qquad{(4)}\] Výsledná kontaktná sila bude \[ F_k = \sqrt{F_r^2 + F_z^2} = \left\{ \left[\varkappa\frac{mM}{R^2}\sin\vartheta - m\frac{\left(\varOmega R\sin\vartheta \pm v\right)^2}{R\sin\vartheta}\right]^2 + \left(\varkappa\frac{mM}{R^2}\cos\vartheta\right)^2 \right\}^{1/2}. \qquad{(5)}\]

V druhom prípade máme pasažiera maglevu v pokoji, teda \[ a = 0. \qquad{(6)}\] Okrem gravitačnej sily a kontaktnej sily rovnakých ako v predchádzajúcom prípade naňho ale pôsobí neinerciálna odstredivá sila. Keďže vzťažná sústava rotuje uhlovou rýchlosťou \(\omega = \varOmega \pm \frac{v}{R\sin\vartheta}\), má odstredivá sila veľkosť \[ F_o = m\omega^2 r = m\left(\varOmega \pm \frac{v}{R\sin\vartheta}\right)^2 R\sin\vartheta = m\frac{\left(\varOmega R\sin\vartheta \pm v\right)^2}{R\sin\vartheta} \qquad{(7)}\] a pôsobí v rovine rovnobežky smerom od osi otáčania. Po dosadení príslušných síl a zrýchlenia do (1) v tomto prípade dostaneme \[ \begin{aligned} 0 &= \varkappa\frac{mM}{R^2}\sin\vartheta - F_r - m\frac{\left(\varOmega R\sin\vartheta \pm v\right)^2}{R\sin\vartheta}; \\ 0 &= \varkappa\frac{mM}{R^2}\cos\vartheta - F_z. \end{aligned} \qquad{(8)}\] Kontaktná sila teda opäť bude \[ F_k = \sqrt{F_r^2 + F_z^2} = \left\{ \left[\varkappa\frac{mM}{R^2}\sin\vartheta - m\frac{\left(\varOmega R\sin\vartheta \pm v\right)^2}{R\sin\vartheta}\right]^2 + \left(\varkappa\frac{mM}{R^2}\cos\vartheta\right)^2 \right\}^{1/2}. \qquad{(9)}\]

Tretí prípad je najzložitejší. Tentokrát pozorujeme, že pasažier vykonáva pohyb po kružnici s polomerom \(r = R\sin\vartheta\) rýchlosťou \(\pm v\). Pozorujeme teda, že má dostredivé zrýchlenie \[ a_d = \frac{\left(\pm v\right)^2}{r} = \frac{v^2}{R\sin\vartheta}. \qquad{(10)}\] Okrem gravitačnej a kontaktnej sily, ktoré sú, samozrejme, rovnaké ako v predchádzajúcich dvoch prípadoch, pôsobí naňho tentokrát odstredivá sila \[ F_o = m\varOmega^2 r = m\varOmega^2 R\sin\vartheta. \qquad{(11)}\] No to nie je všetko. Tým, že sa pasažier pohybuje v rotujúcej vzťažnej sústave rýchlosťou \(v\), pôsobí naňho ešte aj Coriolisova sila, pre ktorú platí \[ \vec{F_C} = -2m\vec{\varOmega} \times \vec{v}. \qquad{(12)}\] Keďže v prípade pohybu po rovnobežke sú \(\vec{\varOmega}\) a \(\vec{v}\) na seba kolmé, veľkosť Coriolisovej sily bude jednoducho \[ F_C = \pm 2m\varOmega v, \qquad{(13)}\] bude kolmá na oba vektory \(\vec{\varOmega}\) aj \(\vec{v}\), teda bude mať taktiež radiálny smer v zmysle cylindrických súradníc, a podľa pravidla pravej ruky určíme, že bude smerovať od osi rotácie⁸, teda rovnako ako odstredivá sila. Teraz už konečne môžeme dosadiť všetky sily a zrýchlenie do (1) a dostaneme \[ \begin{aligned} m\frac{v^2}{R\sin\vartheta} &= \varkappa\frac{mM}{R^2}\sin\vartheta - F_r - m\varOmega^2 R\sin\vartheta \mp 2m\varOmega v; \\ 0 &= \varkappa\frac{mM}{R^2}\cos\vartheta - F_z. \end{aligned} \qquad{(14)}\] Kontaktná sila tento raz teda bude \[ \begin{aligned} F_k = \sqrt{F_r^2 + F_z^2} &= \left[ \left(\varkappa\frac{mM}{R^2}\sin\vartheta - m\varOmega^2 R\sin\vartheta \mp 2m\varOmega v - m\frac{v^2}{R\sin\vartheta}\right)^2 + \left(\varkappa\frac{mM}{R^2}\cos\vartheta\right)^2 \right]^{1/2} = \nonumber \\ &= \left\{ \left[\varkappa\frac{mM}{R^2}\sin\vartheta - m\frac{\left(\varOmega R\sin\vartheta \pm v\right)^2}{R\sin\vartheta}\right]^2 + \left(\varkappa\frac{mM}{R^2}\cos\vartheta\right)^2 \right\}^{1/2}, \end{aligned} \qquad{(15)}\] čo je presne rovnaká sila ako v predchádzajúcich dvoch prípadoch.

Keď už sme si našli veľkosť kontaktnej sily, zostáva nám len dopočítať, pre ktoré zemepisné šírky (košírky) je splnená podmienka \[ \left|\frac{F_k}{m}\right| \leq \SI{1.5}{\gforce}, \qquad{(16)}\] čiže \[ \left[\varkappa\frac{M}{R^2}\sin\vartheta - \frac{\left(\varOmega R\sin\vartheta \pm v\right)^2}{R\sin\vartheta}\right]^2 + \left(\varkappa\frac{M}{R^2}\cos\vartheta\right)^2 \leq \SI{2.25}{\gforce\squared}. \qquad{(17)}\] Keďže riešiť túto rovnicu pre neznámy uhol \(\vartheta\) analyticky by bola výzva aj pre Chucka Norrisa, na pomoc si zoberieme počítač a budeme ju riešiť numericky/graficky. Na grafe je vyšrafovaná oblasť, kde je nerovnica splnená, pričom “/” šrafovanie zodpovedá pohybu na východ (t. j. rýchlosti \(+v\)) a šrafovanie “\” pohybu na západ (t. j. rýchlosti \(-v\)). Limitná košírka je pre prvý prípad \(\ang{3.207}\) a pre druhý prípad \(\ang{3.056}\), čo zodpovedá vzdialenosti od pólu po povrchu Zeme \(\SI{356.6}{\kilo\metre}\), resp. \(\SI{339.8}{\kilo\metre}\).