7. Ukrytý náboj vzorové riešenie

Keď Krtko dá svoj náboj do vodivej dutej gule, náboje sa nejako budú hýbať, kým celá sústava nenadobudne ustálený statický stav. Ak by takýto stav nenadobudla, tak by vo vodiči do nekonečna tiekol prúd. To by ale znamenalo, že by sa donekonečna konala práca, a teda by sme vyrobili perpetuum mobile, čo nevieme. Preto po istom čase¹ nabodudne sústava ustálený stav a elektróny sa nebudú hybať. Z toho vieme usúdiť prvý dôležitý záver a to, že elektrické pole vo vodivom medzigulí bude v takomto stave nulové. Ak by nebolo, tak by pôsobilo silou na voľné elektróny a tie by sa začali hýbať, čím by vznikol prúd, čo nemôže.

Pozrime sa teraz konkrétne na vnútorný povrch kovového medzigulia. Na situáciu sa budeme pozerať z pohľadu siločiar, ktoré reprezentujú smer elektrického poľa v danom mieste a ich hustota znázorňuje veľkosť elektrického poľa. Vo vnútornom priestore máme náboj \(Q\), z ktorého vychádzajú siločiary (alebo vchádzajú, ak je záporný, zmena znamienka spôsobí akurát zmenu znamienka všetkých ostatných nábojov a intenzít, no kvalitatívne riešenie ostane rovnaké, pre jednoduchosť budeme uvažovať kladný náboj). Aby vo vnútri vodivého medzigulia bolo nulové elektrické pole, tak doň žiadne siločiary nemôžu vchádzať. To je ale problém, lebo siločiary z náboja sa nemôžu križovať², takže k okraju prísť musia. Tam ale musia aj skončiť. To znamená, že na vnútornom povrchu sa indukuje záporný náboj. Dokonca aj vieme, že musí mať rovnakú veľkosť, lebo všetky siločiary musia skončiť na okraji.

Vieme povedať aj to, že siločiary na povrch prídu kolmo, lebo inak by mali zložku rovnobežnú s povrchom, a teda by rozpohybovali indukovaný náboj po povrchu.

Celé kovové medzigulie je ale neutrálne, a to znamená, že na vonkajšom povrchu sa musí indukovať kladný náboj \(Q\). Keďže vo vodiči je nulové pole (čo znamená, že bodový náboj \(Q\) vnútri je odizolovaný indukovaným nábojom \(-Q\) na vnútornom povrchu), tak indukovaný náboj \(Q\) na vonkajšom okraji necíti bodový náboj vnútri, a teda sa musí rozložiť rovnomerne. Tým máme vyriešené, čo sa deje na vnútornom povrchu, v samotnom medzigulí a na vonkajšom povrchu. Ostáva už len jedna otázka zo zadania, ako bude vyzerať elektrické pole mimo kovového medzigulia?

Pozrime sa opäť na siločiary. Z kladného náboja na povrchu musia vychádzať nejaké siločiary. Určite nemôžu smerovať smerom do kovového medzigulia, lebo to by opäť znamenalo nenulovosť elektrického poľa v kovovom medzigulí. Kvôli rovnomernému rozloženiu náboja na vonkajšom guľovom povrchu, môžu siločiary smerovať len kolmo preč od povrchu. Ak by smerovali inak, nastal by rozpor so symetriou celého problému. Z toho istého dôvodu pôjdu týmto smerom až do nekonečna.

Keď si zoberieme myslenú sféru so stredom v strede medzigulia, tak hustota siločiar prechádzajúcich cez jednotku plochy na tejto pomyselnej sfére klesá ako \(1/r^2\) kde \(r\) je polomer sféry. Môžeme to vidieť z faktu, že celkový počet pretínajúcich siločiar bude stále rovnaký, no plocha bude rásť s \(r^2\). To nám pripomína elektrostatické pole bodového náboja. Ak by sme uvážili, že ideme celé medzigulie zmenšovať, tak náboj na porchu ostane stále rovnaký, no povrch sa bude zmenšovať s \(r^2\), takže intenzita bude rásť s \(r^2\) (uvedomme si, že v tomto prípade zmenšujeme \(r\)). Ak by sme takto zmenšovali medzigulie limitne do nuly, tak prakticky dostaneme bodový náboj, a teda môžeme povedať, že elektrické pole mimo medzigulia je ako keby tam medzigulie vôbec nebolo a Krtkov náboj bol umiestnený v stede medzigulia.

Riešenie pomocou Gaussovho zákona

Ak poznáme Maxwellove rovnice, vieme si pomôcť aj nimi. Toto riešenie si však vyžaduje znalosti výrazne presahujúce stredoškolské učivo, a preto ho uvádzame len ako zaujímavosť. Jedna z Maxwellových rovníc je Gaussov zákon, ktorý v diferenciálnom respektíve integrálnom tvare hovorí \[ \DivTV{E} = \frac{\rho}{\epsilon}, \qquad \text{respektíve} \qquad \OIIntDV{E}{S} = \frac{Q_\mathrm{in}}{\epsilon}. \] My pri našich úvahách využijeme integrálnu formu. Vieme, že elektrické pole vo vodičoch je nulové z rovnakej úvahy ako sme využili predtým. Ak si teda zoberieme \(S\) ako sféru tesne väčšiu ako vnútorný povrch, vieme hneď povedať, že integrál je rovný 0, a teda celkový náboj ohraničený touto plochou musí byť rovný 0. Preto sa na vnútornom povrchu medzigulia musí nahromadiť náboj \(-Q\).

Rovnakými úvahami ako predtým vieme dospieť k tomu, že na vonkajšom povrchu bude rovnomerne rozložený náboj \(Q\), z čoho získavame guľovú symetriu. Vďaka tejto symetrii môžeme povedať, že elektrické pole bude radiálne. Ak si teda zvolíme ako povrch \(S\) teraz sústrednú sféru s polomerom \(R\) okolo nášho medzigulia, intenzita elektrického poľa bude všade kolmá na povrch a bude mať rovnakú veľkosť. Plošný integrál teda vieme jednoducho vypočítať a dostávame rovnicu \[ 4\pi R^2 E = \frac{Q}{\epsilon} \qquad\Rightarrow\qquad E = \frac{1}{4\pi\epsilon}\frac{Q}{R^2}, \] z ktorej rovno vidíme, že intenzita je rovnaká ako od bodového náboja.

Použitím Gaussovho zákonu sme sa teda vyhli úvahám so siločiarami. Gaussov zákon ale vyžaduje znalosť pokročilej matematiky a fyziky, zatiaľ čo prístup cez siločiary je matematicky oveľa jednoduchší a intuitívnejší, no možno zdĺhavejší.