2. A predsa sa točí (okolo mňa) vzorové riešenie

Ak Zem považujeme za homogénnu guľu, znamená to, že sa otáča okolo svojej osi prechádzajúcej jej hmotným a aj geometrickým stredom. Ťažisko je pôsobiskom tiažovej sily, preto je lepšie hovoriť o hmotnom stede, ktorý je určený iba tvarom telesa a rozložením hmotnosti. Voľne sa točiace telesá sa točia okolo svojich hmotných stredov, a preto v riešení budeme požadovať, aby sa hmotný stred sústavy Zem-mrakodrap nachádzal v mrakodrape. Ďalej budeme predpokladať, že zamýšľaný mrakodrap staviame na rovníku, pretože výsledok nezávisí od toho, kde ho staviame¹. Odvodenie, prečo to tak je, je na konci tohto vzorového riešenia. Na rovníku sa situácia predstavuje najjednoduchšie z dôvodov voľby súradnicovej sústavy. Budeme počítať s polomerom Zeme \(R = \SI{6378}{\kilo\metre}\).

Zaveďme súradnicovú sústavu, ktorej počiatok sa nachádza v hmotnom strede Zeme, os \(x\) je orientovaná smerom k stredu podstavy mrakodrapu a os \(y\) je na ňu kolmá (smeruje k pólu). V takto zvolenej sústave bude \(y\)-ová súradnica spoločného hmotného stredu sústavy nulová a zaujíma nás iba jeho poloha vzhľadom na os \(x\).

Pozrime sa bližšie na prvý prípad, teda keď materiál na stavbu mrakodrapu nepochádza zo Zeme. Nech \(M_\text{z}\) je hmotnosť Zeme, \(R\) jej polomer, \(T_\text{Z}\) hmotný stred a \(\rho\) hustota; \(m\) nech je hmotnosť mrakodrapu výšky \(h\) a dĺžkovej hustoty \(\lambda\) s hmotným stredom \(T_\text{m}\). Dĺžková hustota je fyzikálna veličina, ktorá vyjadruje hmotnosť dĺžkovej jednotky telesa, v našom prípade hmotnosť časti mrakodrapu, ktorá sa na výšku meria \(\SI{1}{\metre}\). Polohu spoločného hmotného stredu označme \(T\). Symbolom \(x(\cdot)\) označujeme \(x\)-ové súradnice hmotných stredov. Polohu hmotného stredu sústavy určíme vzťahom \[ x(T) = \frac{M_\text{Z} x(T_\text{Z}) + m x(T_\text{m})}{M_\text{Z} + m} = \frac{m x(T_\text{m})}{M_\text{Z} + m}, \qquad(1)\] kde sme využili, že \[ x(T_\text{Z}) = 0. \] Okrem toho vieme, že \[ x(T_\text{m}) = R + \frac{h}{2} \] a \[ m = \lambda h. \]

Spoločný hmotný stred sa bude nachádzať vo vnútri mrakodrapu vtedy, keď bude aspoň na povrchu Zeme, rátajme teda s \[ x(T) = R. \] Po dosadení máme \[ \frac{m (R + \frac{h}{2})}{M_\text{Z} + m} = R, \qquad(2)\] čo sa dá upraviť na \[ M_\text{Z} R = \frac{m h}{2} = \frac{\lambda h^2}{2}. \] Výsledkom teda je \[ h = \sqrt{\frac{2 M_\text{Z} R}{\lambda}} \doteq \SI{7.12958e12}{\metre}. \]

Teraz sa pozrime na prípad, kedy sa na stavbu použije materiál zo Zeme. To, že mrakodrap je postavený z materiálu zo Zeme neznamená, že je celý vyplnený, ale stále v sebe má miestnosti, chodby atď., teda jeho hustota ako celku (nie len stien) je menšia ako hustota Zeme, konrétne má stále dĺžkovú hustotu \(\lambda\) zo zadania. Označme \(M_\text{z}\) hmotnosť Zeme po jeho odobratí a \(r\) jej nový polomer. \[ M_\text{z} = M_\text{Z} - m \]

Hmotnosť mrakodrapu vieme určiť aj ako hmotnosť guľovej vrstvy, ktorú sme zo Zeme odobrali \[ m = \lambda h = \frac{4}{3} \pi \rho (R^3 - r^3), \] odkiaľ vieme vyjadriť nový polomer Zeme \[ r = \sqrt[3]{R^3 - \frac{3 \lambda h}{4 \pi \rho}}. \]

Opäť chceme, aby hmotný stred sústavy bol na povrchu Zeme, a použijeme vzťah analogický k rovnici 2 \[ x(T) = r = \frac{M_\text{z} x(T_\text{Z}) + m x(T_\text{m})}{M_\text{z} + m} = \frac{m x(T_\text{m})}{M_\text{Z}} = \frac{\lambda h (r + \frac{h}{2})}{M_\text{Z}}. \] Po dosadení za \(r\) máme \[ \sqrt[3]{R^3 - \frac{3 \lambda h}{4 \pi \rho}} = \frac{\lambda h}{M_\text{Z}} \left(\sqrt[3]{R^3 - \frac{3 \lambda h}{4 \pi \rho}} + \frac{h}{2}\right). \]

Rovnica, ktorú sme dostali, nie je pekná. O riešení však vieme povedať, že očakávame niečo o trochu menšie ako bol predchádzajúci výsledok, lebo hmotnosť Zeme sa zmenšila. Pomocou vhodného softvéru dostaneme \[ h \doteq \SI{7.12957e12}{\metre}. \]

Vidíme, že relatívny rozdiel je naozaj malý, pričom mrakodrap má výšku o trocha väčšiu ako \(\num{1.5}\)-násobok vzdialenosti Neptúna od Slnka.

Stavba mimo rovníka

Stavajme mrakodrap na rovnobežke, ktorá je od pólu vzdialená o uhol \(\phi\). Napríklad FKS miestnosť sa nachádza na 48. rovnobežke, takže ak by sme mrakodrap stavali miesto nej, uhol by bol \(\phi = \ang{42}\). Ak máme osi orientované rovnako ako pri mrakodrape na rovníku, tak rovnica 1 stále platí, čiže \[ (M_\text{Z} + m) x(T) = M_\text{Z} x(T_\text{Z}) + m x(T_\text{m}) = m x(T_\text{m}). \qquad(3)\] Avšak \(x\)-ová súradnica hmotného stredu mrakodrapu teraz je \[ x(T_\text{m}) = \left(R + \frac{h}{2}\right) \sin\phi \] a spodok mrakodrapu sa nachádza na \(x\)-ovej súradnici \(R\sin\phi\), a preto chceme, aby spoločný hmotný stred mal \(x\)-ovú súranicu \[ x(T) = R\sin\phi. \] Tieto súradnice dosadíme do rovnice 3, čím dostaneme \[ (M_\text{Z} + m)R\sin\phi = m \left(R + \frac{h}{2}\right) \sin\phi. \] Vidíme, že na oboch stranách sa \(\sin\phi\) vykráti, a preto je jedno, kde mrakodrap staviame. Rovnako aj v prípade, že materiál na stavbu odoberáme zo Zeme. Na póloch je \(\phi = \ang{0}\), čiže by sme mali rovnicu \(0 = 0\), z ktorej nevieme zistiť nič. Preto sme tento prípad slovne ošetrili hneď na úplnom začiatku tohto vzorového riešenia.