4. Stratený v Bratislave vzorové riešenie

Zadanie

Majo sa tak prechádzal po Bratislave, a prechádzal, a prechádzal, až stratil pojem o čase. Zrazu sa obzrel a uvidel tento nádherný kúsok – 1065ku. To si jednoducho musel odfotiť!

Odhadnite, koľko bolo hodín, keď bola urobená táto fotka.

Ak máme určiť čas len s pomocou fotky samotnej, ako prvé nám dosť možno napadne určiť ho s pomocou dúhy, ktorú vidíme na fotke.

Dúha vzniká, keď sa Slnko nachádza za nami a pred nami sa nachádzajú dážďové kvapky. Nezáleží na tom, v akej vzdialenosti sú kvapky, dôležité je, že sa k nim slnečné svetlo môže dostať bez prekážok, akými môžu byť napríklad mraky. Lúč slnečného svetla sa po prechode do vnútra kvapky láme a rozkladá na farebné zložky. Červené svetlo sa láme najmenej, fialové najviac. Časť svetla opustí kvapku a časť svetla sa vnútri kvapky opäť odrazí. Tieto odrazené lúče sa pri prechode z kvapky do vzduchu opäť lámu. Uhol, ktorý zvierajú lúče červeného svetla vychádzajúce z kvapky s pôvodnými slnečnými lúčmi je približne \(\ang{42}\). Pre fialovú farbu je to zase \(\ang{40}\). Ľahšie však v dúhe rozoznáme modré svetlo, ktorého so slnečným svetlom zviera uhol o trochu väčší než fialové svetlo. V skutočnosti však tieto uhly nie sú jediné, aké svetlo danej farby zviera so slnečnými lúčmi. Napríklad červené svetlo opúšťa kvapku pod uhlom \(\ang{0}\) až \(\ang{42}\), nikdy nie viac. Podobne, fialové svetlo opúšťa kvapku pod uhlom \(\ang{0}\) až \(\ang{40}\) a nikdy nie väčším. Pri najväčšom uhle, pri akom možno svetlo danej farby vidieť, však daná farba prevažuje. Napríklad pod uhlom \(\ang{40}\) možno vidieť prevažne fialovú, avšak taktiež k nám pod daným uhlom prichádza napríklad červená, keďže je tento uhol menší než \(\ang{42}\). Červená farba je jediná, ktorú pod uhlom \(\ang{42}\) môžeme vidieť, pretože všetky ostatné farby majú najväčší uhol, pod ktorým ich možno vidieť, menší než \(\ang{42}\). Keďže pod uhlami menšími než \(\ang{40}\) môžu kvapku opúšťať všetky farby a žiadna z farieb (aspoň čo sa týka viditeľného svetla) pod týmito uhlami neprevažuje, pri uhloch menších než tento k nám tak prichádza biele svetlo.

V našej vzdialenosti od Slnka a našich škálach sú slnečné lúče prakticky rovnobežné. Vieme, že červené svetlo vychádzajúce z dažďovej kvapky zviera s lúčmi slnečného svetla uhol približne \(\ang{42}\). Ak teda vidíme dúhu, znamená to, že ak si predstavíme priamku smerujúcu od nás k ľubovoľnému bodu na červenom páse dúhy, tak táto priamka zviera so slnečnými lúčmi uhol \(\ang{42}\). Vidíme teda, že poloha dúhy na oblohe závisí od toho, kde na oblohe sa nachádza Slnko. Ešte nápomocnejšie nám bude, ak si predstavíme priamku smerujúcu od Slnka cez našu hlavu až po jej tieň. Po tejto priamke taktiež prechádza slnečné svetlo. Túto priamku môžeme predĺžiť aj ďalej, pod povrch Zeme. Práve táto priamka smeruje k tzv. antisolárnemu bodu, čo je bod, ktorý je vlastne stredom dúhy a na oblohe sa nachádza presne na opačnej strane voči Slnku. Ak sú teda vhodné podmienky pre vznik dúhy, môžeme si predstaviť túto priamku a odhadnúť tak polohu antisolárneho bodu na oblohe a \(\ang{42}\) ľubovoľným smerom od neho môžeme vidieť dúhu.

To je návod, ako hľadať dúhu. Pre potreby našej úlohy sa na to môžeme pozrieť aj opačne. Na fotke vidíme dúhu, môžeme teda odhadnúť polohu antisolárneho bodu, odhadnúť jeho azimut, odkiaľ vieme polohu Slnka, jeho azimut a následne tak odhadnúť čas.

Ak chceme s pomocou dúhy určiť čas, potrebujeme ešte vedieť, akým smerom je fotka orientovaná. Na fotke vidíme 1065ku, Bratislavský hrad, Vyhliadkovú vežu UFO a ešte napríklad Dóm sv. Martina. Keď sa pozrieme na mapy, môžeme vidieť, že Dóm sv. Martina sa nachádza približne smerom na sever od UFA. Môžeme vidieť, že fotoaparát, UFO a Dóm sv. Martina sa nachádzajú na jednej priamke. Sever sa na fotke teda nachádza približne smerom k UFU a fotografia bola zhotovená približne na \(\ang[group-digits=none]{48.133151}\)N, \(\ang[group-digits=none]{17.104424}\)E.

Už vieme, akým smerom je fotka orientovaná. Zo vzdialeností medzi fotoaparátom, Dómom sv. Martina a ľavou vežou Bratislavského hradu vieme určiť, že uhol Dóm-fotoaparát-ľavá veža je asi \(\ang{20}\), čo nám umožňuje merať azimuty na fotografii. Preto možno odhadom určiť azimut antisolárneho bodu na približne \(\ang{20}\). Azimut Slnka teda bude približne \(\ang{200}\). Čas tak môže byť približne jedna až dve hodiny poobede. Každopádne však aj letmým pohľadom môžeme vidieť, že antisolárny bod sa s istotou nachádza smerom na východ od severu, čiže Slnko sa nachádza smerom na západ od juhu a teda s istotou môžeme povedať, že fotka bola urobená v poobedných hodinách.

Iný spôsob, ako môžeme určiť čas, je pozrieť sa na tiene. Ak sa pozrieme na Dóm sv. Martina, vidíme, že jeho západná strana, mierne otočená smerom na juh, je v tieni. S istotou teda môžeme povedať, že fotka bola urobená v doobedných hodinách. Ak sa pozrieme na piliere UFA, tiež vidíme, že ich západná strana je v tieni. Aj tieň, ktorý vrhá UFO na jeho piliere, napovedá, že Slnko sa nachádza smerom na východ od juhu. Čas tak môžeme odhadnúť približne na jedenásť hodín.

Avšak tu nám nastal problém. S pomocou dúhy sme s istotou vyvodili záver, že fotka bola urobená v poobedných hodinách. S pomocou tieňov sme zase s istotou vyvodili záver, že fotka bola urobená v doobedných hodinách. Medzi časom vytvorenia fotky určeným s pomocou dúhy a časom vytvorenia fotky určeným s pomocou tieňov nemožno nájsť prienik. Z toho možno usúdiť, že dúha na fotke je dorobená. Skutočný čas, v akom bola fotka odfotená, je teda ten, ktorý sme určili s pomocou tieňov a to je spomínaných približne jedenásť hodín.