7. Budiž fotón a bolo teplo vzorové riešenie

Na úvod sa chcem ospravedlniť za preklep v zadaní. Fotónový plyn je zadaný rovnicami \[ U = 3pV = bVT^4. \]

Teoreticky to nesprávne nie je, ale zvykne sa používať toto. Nič to nemení na postupe riešenia, iba na číselných hodnotách.

Jednou z našich úloh je spočítať účinnosť tepelného čerpadla, a teda je dobré si povedať, čo pod účinnosťou vlastne budeme rozumieť. Účinnosť si najčastejšie definujeme ako to, čo chceme, delené to, čo dodáme. V prípade tepelného čerpadla to teda bude \[ \mu = \frac{{Q_{\mathrm{out}}}}{A}, \] kde \(Q_{out}\) je teplo odovzdané (chladič je v tomto prípade okolitý vzduch) a \(A\) je vykonaná práca (obsah ohraničenej plochy v p-V diagrame). \(p\)-\(V\) diagram fotónového plynu vyzerá nasledovne:

Zo stavovej rovnice vidíme, že pri izotermickom deji budú \(p\) aj \(T\) konštantné. Na naše prekvapenie vedci zistili, že pri izochorickom deji bude konštantný práve objem. Z toho vidíme, že náš \(p\)-\(V\) diagram deja s fotónovým plynom bude obdĺžnik.

Teraz sa pozrime na prvý termodynamický zákon, ktorý nezávisí od média \[ \Delta U = Q - A, \] kde \(\Delta U\) je zmena vnútornej energie, \(Q\) je nami dodané teplo a \(A\) je systémom vykonaná práca. Pozrime sa teraz postupne na všetky prechody:

• \(1 \to 2\) \[ \begin{aligned} \Delta U &= 3p_1(V_2-V_1) = Q - p_1(V_2-V_1) = Q - A \\ Q &= 4p_1(V_2-V_1) = \frac{4}{3}bT_1^4(V_2-V_1) > 0 \end{aligned} \]
• \(2 \to 3\) \[\Delta U = bV_2(T_2^4-T_1^4) = Q = Q - A\] \[Q = bV_2(T_2^4-T_1^4) > 0 \]
• \(3 \to 4\) \[\Delta U = 3p_2(V_1-V_2) = Q - p_2(V_1-V_2)= Q - A\] \[Q = 4p_2(V_1-V_2) = \frac{4}{3}bT_2^4(V_1-V_2) < 0\]
• \(4 \to 1\) \[\Delta U = bV_1(T_1^4-T_2^4) = Q = Q - A\] \[Q = bV_1(T_1^4-T_2^4) < 0 \]

Vieme, že teplo dodané chladiču je to, ktoré je záporné, a teda sčítame \(Q\) z posledných dvoch prechodov:

\[Q_{out} = Q_{3 \to 4} + Q_{4 \to 1} = \frac{4}{3}bT_2^4(V_2-V_1) + bV_1(T_2^4-T_1^4)\]

Zároveň vieme, že práca je obsah útvaru v p-V diagrame:

\[A = (p_2-p_1)(V_2-V_1) = \frac{1}{3}b(T_2^4-T_1^4)(V_2-V_1)\]

Nesmieme zabudnúť premeniť stupne celzia na kelviny (+273). Po premene jednotiek bude účinnosť: \[ \begin{aligned} \mu &= \frac{\frac{4}{3}bT_2^4(V_2-V_1) + bV_1(T_2^4-T_1^4)}{\frac{1}{3}b(T_2^4-T_1^4)(V_2-V_1)} \\ &= \frac{\frac{4}{3}b(298)^4(4V-V) + b(V)(298^4-278^4)}{\frac{1}{3}b(298^4-278^4)(4V-V)} \\ &= \frac{4(298)^4 + (298^4-278^4)}{(298^4-278^4)} = \frac{4(298)^4}{(298^4-278^4)} \approx \num{17.5}. \end{aligned} \]

Netreba sa nechať okabátiť, chladiče sú také super zariadenia, ktoré majú účinnosť ozaj väčšiu ako \(1\).

Pre ideálny plyn bude postup analogický, iba s inou rovnicou. Vieme, že stavové rovnice ideálneho plynu majú tvar \[ \begin{aligned} pV &= NkT, \\ U &= \frac{3}{2}Nk T \end{aligned} \]

Dej vyzerá v p-V diagrame takto:

Na účinnosť budeme potrebovať \(Q_{out}\) a \(A\), poučení však predošlou podúlohou vieme, že nám bude stačiť \(Q_{3 \to 4}\) a \(Q_{4 \to 1}\):

• \(3 \to 4\) \[\Delta U = 0 = Q - NkT_2\ln{\frac{V_1}{V_2}}= Q - A\] \[Q = NkT_1\ln{\frac{V_1}{V_2}} < 0\]
• \(4 \to 1\) \[\Delta U = \frac{3}{2} Nk (T_1-T_2)= Q = Q - A\] \[Q = \frac{3}{2} Nk (T_1-T_2) < 0 \]

A tiež \[ A = NkT_2\ln{\frac{V_2}{V_1}} - NkT_1\ln{\frac{V_2}{V_1}} = Nk\ln{\left(\frac{V_2}{V_1}\right)} (T_2-T_1), \] čím dostávame účinnosť \[ \mu = \frac{NkT_1\ln{\frac{V_2}{V_1}}+\frac{3}{2} Nk (T_2-T_1)}{Nk\ln{\left(\frac{V_2}{V_1}\right)} (T_2-T_1)} = \frac{278\ln{4}+30}{20\ln{4} }\approx15. \]

Vidíme teda, že účinnosť čerpadla s fotónovým plynom je väčšia ako účinnosť čerpadla s plynom ideálnym.