Zadanie
Tete cez deravý stôl prevliekla lanko tak, aby naspodku prečnievala časť dlhá \(\SI{1}{\metre}\). Potom naň zavesila závažie s hmotnosťou \(\SI{1}{\kilo\gram}\) a udelila mu takú rýchlosť, že teraz obieha po kružnici s frekvenciou jedného obehu za sekundu. Lanko pritom musí samozrejme držať v ruke. Akú prácu Tete vykoná, ak lanko potiahne tak, že pretŕčajúca časť sa skráti na polovicu? Trenie o stôl môžete zanedbať.
Táto úloha vôbec nie je taká ťažká ako sa na prvý pohľad javí. Všetko čo je potrebné je Pytagorova veta, zovšeobecnený zákon zachovania energie a zákon zachovania momentu hybnosti. Vrhnime sa na Pytagorovu vetu. Na obrázku značíme dostredivú silu ako \(F_D\), tiažovú silu ako \(G\), ťahovú silu lana ako \(T\), polomer otáčania kyvadla ako \(R\) a výšku kyvadla \(h\). Keďže my fyzici máme radi Index (Cafebar), tak indexami \(1\) budeme značiť stavy pred potiahnutím a indexami \(2\) stavy po potiahnutí.
Z obrázka a z podobnosti trojuholníkov vidíme, že bude platiť \[ \frac{F_D}{G} = \frac{m\omega^2R}{mg} = \frac{\omega^2R}{g} = \frac{R}{\sqrt{l^2 - R^2}} = \frac{R}{h} \quad\Rightarrow\quad R^2 = l^2 - \frac{g^2}{\omega^4} \] a teda \[ h^2 = l^2 - R^2 = \frac{g^2}{\omega^4}. \]
Týmto sme vybavili Pytagorovu vetu. Teraz sa pozrime na zákon zachovania momentu hybnosti. Možno sa pýtate: „Patrik, ako to, že platí ZZMH? Veď predsa sa tam koná práca!!“ Odpoveď je prostá, milý Watson. Vonkajšia sila na závažie pôsobí pomocou lanka. Táto sila je ale rovnobežná s polohovým vektorom závažia voči bodu otáčania, takže moment sily \(\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} = 0\). Zo ZZMH teda dostaneme \[ m\omega_1R_1^2 = m\omega_2R_2^2 \quad\Rightarrow\quad \omega_1l_1^2 - \frac{g^2}{\omega_1^3} = \omega_2l_2^2-\frac{g^2}{\omega_2^3}. \]
\[\omega_2^4 \left(l_2^2\right)-\omega_2^3 \left(\omega_1l_1^2-\frac{g^2}{\omega_1^3}\right)-g^2 = 0\]
Túto rovnicu vyriešime veľmi jednoducho, a to tak, že ju hodíme do Wolfram Alphy :D.
\[\omega_2 \approx \SI{23.55}{\radian\per\second\squared}\]
Teraz sa už iba pozrieme na ZZZE. Ako nulovú hladinu potenciálnej energie zvolíme stôl. Vieme, že vykonaná práca je rozdielom energií medzi dvomi stavmi, a teda bude platiť \[ E_{rot}^1 + E_{pot}^1 = W + E_{rot}^2 + E_{pot}^2 \] \[ W = \frac{1}{2}\left(I_1\omega_1^2-I_2\omega_2^2\right)+(-mgh_1+mgh_2) \] \[ W = \frac{1}{2}\left(mR_1^2\omega_1^2-mR_2^2\omega_2^2\right)-mg\frac{g^2}{\omega^4_1}+mg\frac{g^2}{\omega^4_2} \]
Po dosadení všetkých hodnôt dostaneme \[ |W| \approx \SI{51.4}{\joule}. \]
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.