5. Rozbujnením do hrobu vzorové riešenie

Začnime krátkym zamyslením o tom, čo očakávame, že sa s polypom udeje. Polyp generuje teplo svojou hmotou, pričom jeho hmotnosť závisí od tretej mocniny polomeru. Teplo však stráca svojím povrchom, ktorého veľkosť závisí od druhej mocniny polomeru. Ak sa teda polomer zväčší z \(r\) na \(2r\), tak hmotnosť sa zmení z \(m\) na \(8m\) a povrch z \(S\) na \(4S\). Preto v ňom bude vznikať viac tepla ako z neho uniká, až kým sa nezohreje na teplotu, kedy bude polyp opäť v tepelnej rovnováhe.

Rečou fyziky, výkon s ktorým teplo vzniká je \[ P_+ = k m, \] kde \(m\) je hmotnosť polypu a \(k\) je konštanta, ktorá hovorí, koľko joulov vznikne za sekundu v jednom kilograme polypu. Tento zákon nie je po nikom pomenovaný narozdiel od Stefanovho-Boltzmannovho zákona. Ten vraví, že ak polyp budeme považovať za absolútne čierne teleso, tak jeden meter štvorcový jeho povrchu vyžaruje s výkonom \(P = \sigma T^4\), kde \(\sigma\) je Stefanova Boltzmannova konštanta a \(T\) je teplota polypu. Z povrchu \(S\) preto vyžaruje energia s výkonom \[ P_- = S \sigma T^4. \] Samozrejme, nezabúdame, že \(T\) je termodynamická teplota, ktorú meriame v kelvinoch.

Teplotu polypu \(T_1\) poznáme zo zadania, skúsme si ju teda vyjadriť aj pomocou horeuvedených veličín. Polyp v tepelnej rovnováhe generuje presne toľko tepla, koľko vyžiari, teda \[ \begin{aligned} P_+ &= P_- \\ k V \rho &= S \sigma T_1^4 \\ k \frac{4}{3} \pi r^3 \rho &= 4 \pi r^2 \sigma T_1^4 \\ T_1 &= \left(\frac{r k \rho}{3 \sigma}\right)^\frac{1}{4} = \SI{293}{\kelvin}. \end{aligned} \] Keďže nás zaujíma, akú teplotu bude mať dvakrát väčší polyp, tak jednoducho do vzťahu pre teplotu napíšeme \(2r\) namiesto \(r\). To je \[ T_2 = \left(\frac{2 r k \rho}{3 \sigma}\right)^\frac{1}{4} = 2^\frac{1}{4} \left(\frac{r k \rho}{3 \sigma}\right)^\frac{1}{4} = 2^\frac{1}{4} T_1 = 2^\frac{1}{4} \cdot \SI{293}{\kelvin} \doteq \SI{348}{\kelvin} = \SI{75}{\celsius}. \]

Chudák polyp zažije to, čo mu prorokoval názov úlohy: Rozbujnením do hrobu.

Biologická poznámka

Vidíme, že polyp si dokáže udržať vyššiu teplotu voči svojmu okoliu, ak je väčší. To je zrejme dôvodom, prečo je napríklad tučniak obrovský žijúci v Antarktíde masívne väčší ako tučniak galapážsky žijúci na Galapágoch. Dokáže si tým udržať vyššiu telesnú teplotu voči chladnému antarktickému vzduchu, a teda nezamrzne. Nazýva sa to Bergmannovo pravidlo.