Zadanie
Kubko si tak brázdil ulice hlavného mesta na svojej modrej Fábii. Bolo práve obdobie, keď sa premnožili komáre a tak netrafiť žiadneho z nich predkom auta bolo nemožné.
Kubko vošiel do hustého roja komárov. Priemerná hmotnosť komára je \(\SI{5}{\milli\gram}\). V hustom roji komárov je priemerne \(1\) komár v \(\SI{1}{\centi\metre\cubed}\). O koľko percent stúpne spotreba Kubkovho auta pri prejazde hustým rojom?
Zadanie sa pýta na percentuálnu zmenu spotreby modrej Škody Fábie ak vojde do hustého mraku komárov. Energia, ktorá sa získa z paliva sa stráca všelikde. Na prekonanie odporu vzduchu, valivého trenia pneumatík, zrýchľovanie, zahrievanie motora, prekonávanie trenia prevodovky, trenia piestov v motore a ešte všelikde inde. Pri prejazde mrakom komárov sa stráca ešte aj pri zrážaní komárov.
Vieme však odhadnúť bežnú spotrebu Škody Fábie v meste. Energia, ktorá sa spaľovaním získa z daného obejmu benzínu, sa za normálnych okolností rozdelí na všetky vyššie spomínané straty.
Keď auto vojde do mraku, tak sa pridá ešte strata, ku ktorej dochádza v dôsledku zrážania komárov. Poďme ju teda vypočítať.
Nech má auto čelný prierez \(S\), ide rýchlosťou, ktorá má konštantnú veľkosť \(v\), objemová hustota komárov je \(\rho\), a jeden komár váži \(m\). Ak uvažujeme, že komár má pri zrazení náhodnú rýchlosť náhodným smerom, tak priemerný komár sa nehýbe. Preto mu auto udelí hybnosť \(p = mv\). Na vzdialenosti \(d\) sa preto hybnosť auta kvôli komárom zmenší o
\[\Delta p_a = Sd\rho mv.\]
Pričom platí \(d = vt\), kde \(t\) je čas ktorý autu trvá prejsť dráhu \(d\). Keďže ale auto má stálu veľkosť rýchlosti, tak má aj stálu veľkosť hybnosti. Preto motor počas času \(t\) musí pôsobiť silou takou, aby sa hybnosť nezmenila. S využitím vzťahu \(\Delta p = Ft\) dostávame
\[F = S\rho m v^2.\]
Odtiaľ získavame prácu, ktorú musí motor vykonať na vzdialenosti \(d\) naviac kvôli komárom:
\[W = S\rho m v^2d.\]
Ak \(H\) je energia ktorú dostaneme z daného objemu paliva a \(\mu\) je účinnosť motora, tak kvôli komárom spálime na úseku \(d\) o toľkoto benzínu viac:
\[V = \frac{S\rho mv^2d}{H\mu}.\]
Ak \(S_p\) je spotreba auta na jednotku dĺžky, tak pomer spotreby pred a po vjazde do roja komárov je:
\[\frac{S_p d + \frac{S\rho mv^2d}{H\mu}}{S_p d} = \frac{S_p + \frac{S\rho mv^2}{H\mu}}{S_p }\]
Hustotu roja \(\rho\) a hmotnosť komára \(m\) máme zadané. Zvyšné hodnoty odhadneme (respektíve zistíme na internete). Priemerný odhad spotreby Kubkovej Škody Fábie je približne \(\SI{5.9}{\litre} / \SI{100}{\kilo\metre} = \SI{0.000059}{\litre\per\metre}\)1 (musíme premeniť na rovnaké jednotky aké bude mať druhý zlomok). Čelný prierez Škody Fábie je okolo \(\SI{2.5}{\metre\squared}\), lebo je vysoká približne \(\SI{1.5}{\metre}\) a široká približne \(\SI{1.8}{\metre}\)2. Nech Kubko ide v meste predpísanou rýchlosťou \(\SI{50}{\kilo\metre\per\hour} \approx \SI{13.9}{\metre\per\second}\). Výhrevnosť benzínu je \(\SI{32}{\mega\joule\per\litre}\)3. Účinnosť spaľovacích motorov je zhruba okolo \(30\%\)4. Po dosadení hodnôt dostávame nárast spotreby o \(420\%\).
Pri riešení sme urobili veľa odhadov a aproximácií, ktoré spôsobili, že sme dostali iba odhad. V skutočnosti napríklad spotreba auta nerastie lineárne vzhľadom na prekonávaný odpor, takže dalšia odporová sila sa tiež nepremietne lineárne do spotreby. Alebo tým ako vzduch obteká auto, tak spôsobí, že v skutočnosti nie všetky komáre ktoré sme započítali zrazíme. Niektoré budú odfúknuté obtekajúcim vzduchom a obídu nás. Z odhadu ale vieme určiť, že prírastok spotreby v dôsledku tak hustého roja nie je zanedbatelný.
Diskusia
Tu môžte voľne diskutovať o riešení, deliť sa o svoje kusy kódu a podobne.
Pre pridávanie komentárov sa musíš prihlásiť.