3. Nízkonákladové chudnutie vzorové riešenie

V prvom rade by sme si mohli položiť otázku, prečo by váha mala ukázať iný údaj – je to jednoduché, vstupujú do toho dva efekty.

Prvý je celkom zrejmý a je ním pohyb po zakrivenej dráhe. Iste si spomínate, že keď ste išli autom a prechádzali cez retardér či vrchol stúpania, nadskočili ste¹.

Prečo ste nadskočili? Je to jednoduché, skrátka sedadlo pod vami utieklo smerom dole a vy ste vďaka zotrvačnosti pokračovali v smere nie-dole, preto ste sa odlepili od sedadla. A keby ste sedeli na osobnej váhe, zobrazovaná hodnota by sa zmenila. No a také lietadlo oblietavajúce Zem v podstate tiež pod Terkou uteká smerom dole. Máte právo teraz vyskočiť zo stoličky a kričať (nie príliš nahlas, už je večer, aspoň keď toto píšem) niečo o odstredivej alebo dostredivej sile. Ale áno, ja by som sa s vami nehádal, veď ono je to len iný pohľad na to isté a ak by sme sa snažili z toho, čo je popísané vyššie, vydolovať nejaký vzorec, skončili by sme presne tam. Len je možno trochu názornejšie sa na to pozrieť aj z inej strany ako hneď povedať že „veď kruhový pohyb“.

Druhý efekt je o niečo jednoduchší – gravitačná sila od Zeme (alebo čohokoľvek iného) je závislá na vzájomnej vzdialenosti objektov – no a lietadlo sa od Zeme vzdiali o desať kilometrov, takže táto príťažlivá sila klesne. Mimochodom, klasický vzťah \(F = \kappa\frac{m_1 m_2}{r^2}\) platí pre dva hmotné body a je dôsledkom nie celkom triviálnych úvah, že ho možno použiť i pre guľu s nezanedbateľnými rozmermi, akou je napríklad Zem.

Poďme si najprv spočítať, čo ukazuje váha v Libreville. Váha je silomer, a teda ukazuje tiažovú silu pôsobiacu na Terku. Tá váži \(m_T\), nachádza sa vo vzdialenosti \(R_Z = \SI{6378}{\kilo\metre}\) od Zeme vážiacej \(M_Z = \SI{6e24}{\kilo\gram}\). Lenže spôsobom, ktorý sme riešili vyššie, váha ukazuje o čosi menej vďaka rotačnému pohybu. Jej uhlová rýchlosť je \(\omega_Z = 2\pi/\SI{24}{\hour}\) a pohybuje sa po kruhovej dráhe s polomerom \(R_Z\).

S týmito vedomosťami vieme vyjartiť Terkinu tiažovú silu na Zemi. Mimochodom, v tvare \(m_T\) krát zátvorka sa táto zátvorka dá pochopiť aj ako tiažové zrýchlenie. \[ F_{tZ} = \kappa\frac{m_T M_Z}{R_Z^2} - m_T \omega_Z^2 R_Z = m_T\left(\kappa\frac{M_Z}{R_Z^2} - \omega_Z^2 R_Z\right). \]

Veľmi podobne vypočítame, aký údaj ukazuje váha v lietadle. Polomer otáčania a vzdialenosť od stredu Zeme za zväčšia o letovú výšku \(h = \SI{10}{\kilo\metre}\). Čo sa ale stane s rýchlosťou, ako rýchlo ide to lietadlo? Ide smerom na východ, teda rovnakým smerom, ako sa točí Zem. A za dva dni, teda kým planéta spraví dve otočky, by Terka chcela urobiť ešte jednu navyše, teda tri. Jej uhlová rýchlosť preto musí byť o polovicu väčšia, ako uhlová rýchlosť otáčania Zeme, preto \(\omega_L = \frac{3}{2}\omega_Z\). A matematika bude rovnaká: \[ F_{tL} = \kappa\frac{m_T M_Z}{\left(R_Z + h\right)^2} - m_T \omega_L^2 \left(R_Z + h\right) = m_T\left(\kappa\frac{M_Z}{\left(R_Z + h\right)^2} - \omega_L^2 \left(R_Z + h\right)\right). \]

Úlohou je zistiť, ako sa zmení údaj na váhe, teda spočítať pomer \(F_{tL} / F_{tZ}\). Hneď vidno, že môžeme zostať v medziach slušnosti, pretože nepotrebujeme poznať \(m_T\) (a dámy sa na hmotnosť nepýtame). Poďme teda počítať! \[ \frac{F_{tL}}{F_{tZ}} = \frac{ \kappa\frac{M_Z}{\left(R_Z + h\right)^2} - \omega_L^2 \left(R_Z + h\right) }{ \kappa\frac{M_Z}{R_Z^2} - \omega_Z^2 R_Z } = \frac{ \SI{9.807}{\metre\per\second\squared} - \SI{0.076}{\metre\per\second\squared} }{ \SI{9.838}{\metre\per\second\squared} - \SI{0.034}{\metre\per\second\squared} } = \SI{99.2548}{\percent}. \]

Spočítali sme teda, že v lietadle váha ukáže asi o \(\SI{0.75}{\percent}\) menšie číslo.