7. Teoretické cvičenie vzorové riešenie

Keďže bol Hovorca taký milý, že nám v zadaní poradil, ako vyzerá potenciál gravitačného poľa, bola by škoda to nevyužiť. Predtým si ale uvedomme, čo sú to malé kmity. No predsa to, kde si môžeme dovoliť napísať, že pri výchylke \(x\) z rovnovážnej polohy na nás pôsobí sila \(F = - k x\), kde \(k\) je konštanta úmernosti. To tiež znamená, že pri výchylke \(x\) máme potenciálnu energiu \(E_p = \frac{1}{2} k x^2\).

Okrem toho kmitáme, čiže ak v nejakom momente máme rýchlosť \(\dot{x}\)¹, máme kinetickú energiu \(E_k = \frac{1}{2} \mu \dot{x}^2\), kde \(\mu\) je naša hmotnosť. Pri zanedbaní trenia naša kmitajúca sústava žiadnu energiu nestráca, a teda ak jej na začiatku udelíme nejakú výchylku \(x_0\) a rýchlosť \(\dot{x_0}\), bude mať energiu \(E = \frac{1}{2} k x_0^2 + \frac{1}{2} \mu \dot{x}_0^2\), ktorá je stále rovnaká. Preto v každom čase platí, že \(\frac{1}{2} k x^2 + \frac{1}{2} \mu \dot{x}^2 = E = \text{konšt}.\) Teraz už len jednoducho vyjadríme uhlovú frekvenciu \(\omega = \sqrt{\frac{k}{\mu}}\) a z nej periódu \(T = \frac{2 \pi}{\omega}\).

Súc poučení prvým odsekom, vyjadrime si potenciálnu a kinetickú energiu. Potenciálna energia hmotného bodu \(m\) vzdialeného \(R\) od stredu Zeme je \(E_p = - \frac{GMm}{R}\), kde \(M\) je hmotnosť Zeme. Vzdialenosti oboch koncov činky od stredu Zeme pri výchylke \(\phi\) od zvislej polohy vieme ľahko vyjadriť z obrázka 1 pomocou kosínusovej vety ako \[ \begin{aligned} r_1 &= R^2 + L^2 - 2RL \cos\phi \\ r_2 &= R^2 + L^2 + 2RL \cos\phi. \end{aligned} \qquad{(1)}\]

Potenciálna energia je potom \[ E_p = - GMm \left(\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2}\right) = - GMm \left(\frac{1}{R^2 + L^2 - 2RL \cos\phi} + \frac{1}{R^2 + L^2 + 2RL \cos\phi}\right). \qquad{(2)}\]

Teraz by sme mali zistiť, pre aké \(\phi\) je činka v rovnovážnej polohe. Mohli by sme deriváciou nájsť minimum funkcie \(E_p(\phi)\), alebo si uvedomíme, že zo symetrie úlohy dáva zmysel, že stabilná rovnovážna poloha by mohla byť zvislá (\(\phi = \ang{0}\)) a/alebo² „vodorovná“ (\(\phi = \ang{90}\)). Pri pohľade na potenciálnu energiu \(E_p \sim \frac{1}{r}\) je však jasné, že keď činku z vodorovnej polohy, kde obe závažia sú v rovnakej výške, otočíme do zvislej, závažie, ktoré kleslo, stratilo viac potenciálnej energie, ako vystúpavšie závažie získalo. Teda funkcia \(E_p(\phi)\) na intervale \([\ang{0}, \ang{90}]\) rastie. Okrem toho, kvôli symetrii nemá zmysel uvažovať iné \(\phi\) ako interval \([\ang{0}, \ang{90}]\), čiže minimum potenciálnej energie, a teda stabilná rovnovážna poloha je iba vo \(\phi = \ang{0}\). Vo zvyšku úlohy nás teda budú zaujímať iba malé kmity okolo \(\phi = \ang{0}\).

Pri pohľade na rovnicu 2 ale vidíme, že sa vôbec nepodobá na tvar \(E_p = \frac{1}{2} k x^2\), ktorý chceme dostať. Pre malé kmity ale môžeme použiť Taylorov rozvoj, kde celý potenciál rozvinieme okolo rovnovážnej polohy \(\phi = \ang{0}\). Využijeme, že \[ \frac{1}{\sqrt{a \pm b \cos\phi}} \approx \frac{1}{\sqrt{a \pm b}} + \frac{\pm b \phi^2}{4 (a \pm b)^\frac{3}{2}}, \qquad{(3)}\] kde v našom prípade je \(a = R^2 + L^2\) a \(b = 2RL\). Aplikujúc to na rovnicu 2 dostaneme \[ E_p = - GMm \left(\frac{1}{\sqrt{R^2 + L^2 - 2RL}} + \frac{- 2RL \phi^2}{4 (R^2 + L^2 - 2RL)^\frac{3}{2}} + \frac{1}{\sqrt{R^2 + L^2 + 2RL}} + \frac{2RL \phi^2}{4 (R^2 + L^2 + 2RL)^\frac{3}{2}}\right), \] pričom si spomenieme, že pri potenciálnej energii nás nezaujíma jej hodnota, ale iba rozdiel energií medzi dvomi bodmi. A keďže \(R\) a \(L\) sú konštanty, prvý a tretí zlomok sú tiež konštantné a pri kmitoch činky sa nemenia a môžeme ich bez ľútosti vyšktrnúť z rovnice. Potom potenciálnu energiu vieme upraviť na \[ E_p = GMm \frac{R L^2}{(R^2 - L^2)^3} (3R^2 + L^2) \phi^2. \] To už vieme zapísať ako \(E_p = \frac{1}{2} k \phi^2\), kde \[ k = 2GMm \frac{R L^2}{(R^2 - L^2)^3} (3R^2 + L^2). \]

Výborne, tú väčšiu polovicu už máme za sebou. Hmotné body na konci činky sa pohybujú po časti kružnice s polomerom \(L\). Preto pri uhlovej rýchlosti \(\dot{\phi}\) je rýchlosť pohybu hmotného bodu \(v = L \dot{\phi}\), čiže kinetická energia oboch hmotných bodov spolu je \[ E_k = m L^2 \dot{\phi}^2. \] To vieme zapísať ako \(E_k = \frac{1}{2} \mu \dot{\phi}^2\), kde \[ \mu = 2 m L^2. \]

Teraz už len spočítame uhlovú frekvenciu malých kmitov \[ \omega = \sqrt{\frac{k}{\mu}} = \sqrt{GM \frac{R}{(R^2 - L^2)^3} (3R^2 + L^2)} \] a periódu \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{(R^2 - L^2)^3}{GMR (3R^2 + L^2)}}. \]

V každej slušnej domácnosti je činka oveľa menšia ako Zem, čiže pomer \(\frac{L}{R} \ll 1\), a ak je tento pomer umocnený na druhú či nebodaj na tretiu, je už úplne zanedbateľný voči jednotke. Teda vzťah pre periódu vieme zjednodušiť na \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{R^6 \left(1 - \frac{L^2}{R^2}\right)^3}{GMR R^2 \left(3 + \frac{L^2}{R^2}\right)}} \approx 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{3GM}}. \]