2. Neúderné slony vzorové riešenie

V prvom rade by som chcela povedať, že pri písaní tohoto vzoráku nebolo ublížené žiadnemu chrobákovi.¹ Keďže chceme, aby z vás vyrástli všeobecne vzdelaní ľudia, dáme si na začiatok biologický úvod a pozrieme sa na stavbu tela chrobákov. Chrobáky patria medzi exoskeletov, to znamená, že nemajú kosti, na ktoré sú následne pripnuté šľachy, tak ako my ľudia. V skutočnosti majú kostrou zvonka obalené celé svoje telo. Zaujímavosťou je, že napríklad taký roháč dokáže zdvihnúť objekt, ktorý má 1141-násobnú² hmotnosť jeho tela.

Porovnajme to s ľuďmi – pri veľmi vysokých výkonoch vedia vrcholoví športovci zdvihnúť v priemere 9-násobnú hmotnosť svojho tela v mŕtvom ťahu a to „len“ na niekoľko sekúnd.³ Ako je teda možné, že najlepší športovci nedokážu len tak z ničoho nič zdvihnúť 5000 kilogramové závažie a prejsť sa s ním po ulici? Je to preto, lebo na to nie sme fyzicky uspôsobení. Jednou z vecí, ktoré by sa nám museli v tele zmeniť, je prierez kostí, ktorý by sa musel niekoľkonásobne zväčšiť. V tomto bode sa dostávame k fyzike a k nášmu príkladu chrobáka a slona.

Náš ideálny chrobák má hmotnosť \(M\) (a to nemá každý chrobák!). Ďalej má homogénnu hustotu, čiže ľubovoľný pomer hmotnosti nejakej jeho časti a jej objemu je konštanta \(\rho = \frac{M}{V}\), z toho si môžeme vyjadriť hmotnosť ako \(M = \rho V\). Povedzme si, že teraz chceme chrobáka zväčšiť, avšak nie hociako. Chceme, aby sa jeho hustota nezmenila. To znamená, že chrobáka musíme zväčšiť vo všetkých smeroch \(n\)-násobne. Ak uvážime, že chrobák má výšku, šírku a dĺžku, tak jeho objem sa zväčší \(n^3\)-krát. Čo sa stane s hmotnosťou chrobáka? To vieme hneď povedať z rovnice pre hustotu \(M = \rho V n^3\), čo nie je nič prekvapivé. Ak mám 27 rovnakých kociek a postavím z nich jednu veľkú kocku, tak jej hmotnosť bude dvadsaťsedemkrát hmotnosť jednej kocky.

Teraz príde tá zaujímavá časť. Otázkou zostáva, či môžeme chrobáka zväčšovať takýmto spôsobom do nekonečna, alebo v istom momente to už jeho nožičky nezvládnu.⁴ Otázka súvisí s tlakom, ktorý je vyvíjaný na nohy. Vieme, že tlak vyjadruje pomer sily \(F\) na plochu \(S\), čiže \(p = \frac{F}{S}\).

Označme \(p_c\) ako kritický tlak, pri ktorom to už náš homogénny chrobák nezvládne. Sila \(F\) je v našom prípade tiažová sila a \(S\) je prierez jeho nohy, ktorých má počet \(k\). Tlak meriame tesne pri konci nohy, pretože tam je najväčší. Takže dostávame \[ p = \frac{F_t}{k S} = \frac{Mg}{k S}. \]

Ak teraz chrobáka zväčšíme \(n\) násobne, plocha prierezu jeho nohy sa zväčší \(n^2\)-krát a dostávame, že tlak závisí lineárne od \(n\), čiže \[ p = \frac{\rho V n^3}{k S n^2} = \frac{\rho V n}{k S}. \]

Takže je jasné, že pre \(n > \frac{k Sp_c}{\rho V}\) to už chudák chrobák neprežije.

Skúsme sa zamyslieť nad tým, ako by sa musel meniť prierez, čiže hrúbka chrobákových nôh, aby sa mu nič nestalo pri zväčšovaní. Na to, aby sa nám \(n\) vykrátilo vo vzorci pre tlak, potrebujeme aby \(S\) celkovo rástlo ako \(n^3\). Z toho vyplýva, že naše nové \(n\) bude rovné \(n^{3/2}\)⁵. Napríklad ak chceme, aby telo chrobáka narástlo \(3\)-krát v každom smere (\(n = 3\)), hrúbka nôh sa musí zväčšiť v každom smere \(3^{3/2} = 3 \sqrt{3}\)-krát, čo je viac ako pôvodných 3-krát.

Okrem hrúbky nôh chrobáka by sa dala meniť aj ich pevnosť. Tak by sa zdalo, že by sme mohli posunúť hodnotu kritického tlaku. Avšak vo väčšine prípadov pevnejší znamená ťažší a to môže robiť problém. Pri zväčšení pevnosti by sa zväčšila aj hmotnosť a teda by sa mohlo stať, že hodnota \(p_c\) by bola v skutočnosti nižšia. Z toho sa dá vydedukovať, že chrobáky majú veľmi pevný exoskelet vzhľadom na ich telesnú hmotnosť a to je jeden z dôvodov, prečo sa im nič nestane keď spadú z veľkej výšky. Samozrejme je tu ešte veľa biologických ale, no to už necháme na vás.