7. Pomsta je kladka vzorové riešenie

Zadanie

Patrika už omrzelo to, ako mu účastníci stále chodia na prednášku o kladkách a akosi to stále nevedia. Napadlo mu, že by to mohlo byť tým, že sa vždy predpokladá, že kladka je nehmotná. Hneď mu v hlave skrsol diabolský nápad zadať do FKS úlohu o hmotnej kladke. A keďže vie, ako chutí najlepšia pomsta účastníkom, namixoval do tejto úlohy ešte aj malé kmity.

Patrik si teda zobral pevnú kladku s hmotnosťou \(m\) a polomerom \(r\). Prevesil cez ňu lano tak, že na jednej strane naň zavesil krabicu s hmotnosťou \(M\). Na druhú stranu lana pripevnil pružinu s tuhosťou \(k\) a nulovou pokojovou dĺžkou. Túto pružinku ďalej pripevnil k zemi. Celá situácia potom vyzerala tak ako na obrázku.

Napokon Patrik jemne šťuchol do krabice a celá sústava začala kmitať. Vypočítajte periódu malých kmitov tejto sústavy. Porovnajte tento výsledok s periódou malých kmitov v situácii, keby mala kladka nulovú hmotnosť.

Malé kmity budeme riešiť ako obvykle – napíšeme si rovnicu pre momenty síl a pokúsime sa z nej dostať rovnicu harmonického oscilátora. Najprv si však budeme musieť ujasniť niekoľko vecí, ktoré v tomto riešení využijeme.

• Ak z kružnice s polomerom \(r\) vysekneme oblúk so stredovým uhlom \(\phi\), dĺžka tohto oblúka je \(r \phi\).
• Ak vektor sily \(\vec{F}\) pôsobí v ľubovoľnom bode \(P\) na danej priamke, tak veľkosť momentu tejto sily voči nejakému bodu \(O\) bude \(M = r_0 F\), kde \(r_0\) je vzdialenosť priamky od bodu \(O\) (viď Obrázok 1). Dá sa na to prísť ľahko. Označme \(\vec{r}\) vektor od bodu \(O\) k bodu \(P\), potom veľkosť momentu sily vieme vyrátať pomocou sínusu uhla medzi vektormi \(\vec{r}\) a \(\vec{F}\) ako \(M = |\vec{r} \times \vec{F}| = r F \sin\theta = r_0 F\), kde sme využili jednoduchú trigonometriu v pravouhlom trojuholníku.
• Pre rotačný pohyb platí rovnica pre moment sily \(\tau = J \epsilon\)¹, kde \(\tau\) je moment sily a \(J\) je moment zotrvačnosti (analogicky k \(F = m a\)).
• Ak by kladka v zadaní bola nehmotná v beztiažovom stave a miesto pružiny by bol Patrik, ktorý by lano potiahol silou \(F\), tak závažie hmotnosti \(M\) na opačnej strane sa začne pohybovať so zrýchlením \(a = \frac{F}{M}\), pričom naň pôsobí moment sily \(\tau = r F\), kde \(r\) je polomer kladky. Zároveň sa kladka roztáča s uhlovým zrýchlením \(\epsilon = \frac{a}{r}\). Ak toto všetko dosadíme do \(\tau = J \epsilon\), zistíme, že moment zotrvačnosti závažia voči osi otáčania kladky je \(J = M r^2\), kde ešte raz pripomíname, že \(r\) je polomer kladky.

Po prečítaní vyššie spomenutých bodov môžeme napísať rovnicu pre momenty síl. Do protismeru hodinových ručičiek roztáča kladku gravitačná sila pôsobiaca na závažie momentom veľkosti \(M g r\). V rovnovážnej polohe roztáča pružina kladku v smere hodinových ručičiek rovnako veľkým momentom sily. Zadefinujme si, že ak vychýlime kladku v smere hodinových ručičiek, výchylku považujeme za kladnú. Ak teda Patrik vychýli kladku v kladnom smere o uhol \(\phi\), pružina sa skráti o \(r \phi\), čím sa jej sila zmenší o \(k r \phi\), a teda jej moment sa zmenší o \(k r^2 \phi\). Naopak, záporné vychýlenie \(\phi\) zväčší moment sily od pružiny o \(k r^2 \phi\). Uvedomíme si, že moment sily od závažia je konštantný, pretože nezávisí od vychýlenia kladky. Preto pri výchylke \(\phi\) pôsobí na kladku moment sily \(- k r^2 \phi\), kde sme mínuskom zahrnuli do vzťahu predchádzajúcu úvahu o kladnom a zápornom \(\phi\). Posledným krokom pred napísaním rovnice je, že uhlové zrýchlenie je druhou časovou deriváciou uhlovej výchylky a budeme teda používať označenie \(\epsilon = \ddot{\phi}\) a celkový moment zotrvačnosti našej sústavy je \(J = J_0 + M r^2\), kde \(J_0\) je moment zotrvačnosti kladky. Vychádzame z už známej rovnice \[ \begin{aligned} J \epsilon &= \tau, \\ J \ddot{\phi} &= - k r^2 \phi, \\ \ddot{\phi} &= - \frac{k r^2}{J} \phi. \end{aligned} \]

Toto je rovnica harmonického oscilátora kmitajúceho s uhlovou frekvenciou \[ \omega = \sqrt{\frac{k r^2}{J}}. \]

Kladka je plný valec, ktorý má moment zotrvačnosti \(J_0 = \frac{1}{2} m r^2\), čo po dosadení do vyjadrenia uhlovej frekvencie a úprave dáva \[ \omega = \sqrt{\frac{k}{\frac{m}{2} + M}}. \]

Perióda malých kmitov je potom \[ T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi}{\sqrt{\frac{k}{\frac{m}{2} + M}}}. \]

Porovnať tento výsledok s prípadom nehmotnej kladky je najlepšie na uhlovej frekvencii. V prípade \(m = 0\) by bola \[ \omega = \frac{k}{M}, \] čo je uhlová frekvencia pružinky so závažím \(M\), čo je vlastne to isté ako táto úloha s nehmotnou kladkou.

Poznámka o malých kmitoch

Pozorný čitateľ by mohol namietať, že v zadaní nebolo nutné uvažovať malé kmity. Naozaj, pri riešení sme nikde nepoužili Taylorov rozvoj pre malé výchylky \(\phi\). Avšak už samotná rovnica pružiny \(F = - k x\) je Taylorovým rozvojom, pretože žiadna skutočná pružina nie je lineárna a uvedená rovnica teda platí len pre malé výchylky \(x\).