5. Pingpongový tréning vzorové riešenie

Na úvod si uvedomme, že máme statickú situáciu, pretože pingpongová loptička ostane stáť na mieste. Pri týchto slovách ste určite zajasali, pretože to znamená, že nebudeme musieť riešiť pohybové rovnice! Tak, ako to už pri riešení úloh na statiku býva, aj tu nám stačí spočítať výslednicu síl pôsobiacich na loptičku a požadovať, aby sa rovnala nule (keby bola výslednica síl nenulová, potom by sa loptička pohybovala so zrýchlením). Najťažšou časťou tejto úlohy teda je rozmyslieť si, aké sily pôsobia na loptičku.

Prvá zo síl je gravitačná sila. Máme totiž Hovorcu hmotnosti \(M\) a loptičku hmotnosti \(m\) vo vzájomnej vzdialenosti \(R\). Keďže Hovorcove údery sú fakt masívne, môžeme predpokladať, že vzdialenosť \(R\) medzi loptičkou a Hovorcom je omnoho väčšia ako sú ich samotné rozmery. Preto môžeme oba objekty aproximovať hmotnými bodmi a dopustíme sa tým len minimálnej chyby. Avšak gravitačná sila, ktorou sa priťahujú dva hmotné body vo vzájomnej vzdialenosti \(R\), je daná Newtonovým gravitačným zákonom \[ F_g = G\frac{Mm}{R^2}. \] To bolo jednoduché! Teraz nám už ostáva len nájsť druhú zo síl pôsobiacich na loptičku – tlak žiarenia.

Ako môže svetlo pôsobiť silou na nejaké teleso? Veď predsa teória elektromagnetizmu nám hovorí, že svetlo nie je nič iné, ako vlnenie elektromagnetického poľa! Kde sa tam teda beria tlak? Odpoveď na túto otázku je z hľadiska elektromagnetizmu dosť náročná a my sa jej v tomto riešení vyhneme. Dôvod, prečo to môžeme urobiť, je ten, že sa na svetlo môžeme pozrieť aj z iného uhlu pohľadu. Namiesto toho, aby sme svetlo považovali za vlnu, predpokladajme, že ide o prúd malých častíc – fotónov. Tento predpoklad sa z klasického pohľadu zdá byť nezmyselný, ale v histórii sa ukázal ako kľúčový pri zrode kvantovej mechaniky. Obe interpretácie svetla sú si navzájom ekvivalentné¹. Podľa Maxa Plancka je energia jedného takéhoto fotónu priamo úmerná jeho frekvencii (farbe) \(f\), teda \[ E = h f, \] kde konštantou úmernosti je Planckova konštanta \(h\).

Keď máme vyjadrenú energiu jedného fotónu, potom už ľahko vypočítame jeho hybnosť, však? Nuž, bohužiaľ nie. Tu totiž narážame na ďalšiu hranicu klasickej mechaniky - vysoké rýchlosti. V našom každodennom živote si pri prepočte kinetickej energie a hybnosti vystačíme s klasickým vzťahom \(E = \frac{p^2}{2m}\), kde \(p\) je hybnosť častice. Tento vzťah ale, podobne ako celá Newtonovská fyzika, prestáva platiť pri rýchlostiach blížiacich sa rýchlosti svetla. Aby sme získali správny vzťah, musíme sa obrátiť na Einsteina, podľa ktorého je správny vzťah medzi energiou a hybnosťou častice daný \[ E = \sqrt{\left(m_0 c^2\right)^2 + p^2 c^2}, \] kde \(m_0\) je pokojová hmotnosť častice a \(c\) je rýchlosť svetla². Fotóny sú však veľmi špecifické častice v tom, že sa pohybujú presne rýchlosťou svetla a zároveň majú nulovú pokojovú hmotnosť (teda \(m_0 = 0\)). Potom sa Einsteinov vzťah redukuje na \(E=pc\), ktorý v tvare pre hybnosť zapíšeme ako \[ p = \frac{E}{c}. \]

Ako ale vypočítame silu pôsobiacu na loptičku? Najskôr si uvedomme, že loptička je dokonale čierna, čo znamená, že neodráža fotóny. Ak teda nejaký fotón s hybnosťou \(p\) narazí na loptičku, potom bude kompletne absorbovaný a všetku svoju hybnosť odovzdá loptičke. Podľa Newtonovho zákona je sila pôsobiaca na objekt rovná zmene hybnosti tohto objektu za čas (jedná sa o ekvivalentnú formuláciu zákona \(F=ma\)). Ak teda za čas \(\Delta t\) narazí do loptičky veľké množstvo fotónov s celkovou hybnosťou \(\Delta p = \Delta E /c\), potom sila pôsobiaca na loptičku bude \[ F_f = \frac{\Delta p}{\Delta t}= \frac{\Delta E}{c\Delta t}. \qquad{(1)}\]

Všimnite si, že výraz \(\Delta E / \Delta t\) je vlastne výkon žiarenia dopadajúceho na loptičku.

Ako tento výkon určíme? No predsa z výkonu \(P\) Hovorcovej žiarovky! Uvedomme si, že výkon žiarovky nám hovorí koľko Jouleov energie vyžiari žiarovka za jednu sekundu. Teraz si predstavme sféru polomeru \(R\) s žiarovkou v jej strede a pýtajme sa aký svetelný výkon uniká z tejto sféry (teda koľko Jouleov energie prejde sférou za jednu sekundu). Odpoveď musí byť samozrejme \(P\), pretože ak by to tak nebolo, potom by sa celková energia vo vnútri sféry zvyšovala. Ak tento výkon teraz predelíme plochou sféry \(4\pi R^2\), potom dostaneme energiu, ktorá za jednotku času dopadne na \(1~{\rm m}^2\) povrchu sféry. Teraz sa vráťme k loptičke. Tá má prierez \(\pi r^2\) a nachádza sa vo vzdialenosti \(R\) od Hovorcu, teda na povrchu sféry. Výkon žiarenia, ktoré dopadá na loptičku, teda je \[ P_{d} = \frac{\Delta E}{\Delta t}= \frac{P}{4\pi R^2}\pi r^2 = \frac{Pr^2}{4R^2}. \]

Dosadením tohto do rovnice 1 pre silu žiarenia dostaneme vzťah \[ F_f = \frac{Pr^2}{4R^2 c}. \]

Teraz nám už len stačí dať túto silu do rovnosti s gravitačnou a dostaneme \[ G\frac{Mm}{R^2} = \frac{Pr^2}{4R^2 c} \implies P = 4cG\frac{Mm}{r^2}. \]

A toto je výsledok! Všimnite si, že nezávisí od vzdialenosti \(R\) medzi Hovorcom a loptičkou. To sa nám môže zdať na prvý pohľad neintuitívne, ale v skutočnosti to zmysel dáva, pretože gravitačná sila \(F_g\) a aj sila žiarenia \(F_f\) sú nepriamo úmerné štvorcu vzdialenosti. Ak by sme napr. loptičku umiestnili do vzdialenosti dvakrát väčšej, potom by gravitačná sila klesla štyrikrát, ale zároveň by štyrikrát klesla aj sila od žiarenia, teda loptička bude stále v rovnováhe.